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我建议我最近买的一本书：
Pavel Pudlak：数学和计算复杂性的逻辑基础-温和的介绍；数学史普林格专着；2013年
我对逻辑没有很深的了解（“仍然还没有：:-”），而这本书正在帮助我更好地理解逻辑的一些“基本”方面及其与计算和复杂性的关系。毫无疑问是一本很好的入门书。
本书的目录和序言可从Pudlak的主页下载，您也可以在http://books.google.com上找到本书的某些摘录。
从简介：
...前两章是对数学和数学逻辑基础的介绍。对该材料进行了非正式的解释，更详细的介绍将在后面的章节中进行。...
第3章致力于设定理论，这是数学基础中最重要的部分。本章中的两个主要主题是：（1）更高的无穷大作为强大公理的来源，以及（2）替代公理，例如确定性公理...
不可能的证明是第4章的主题，它证明某些任务是不可能的，这与最初的直觉相反。如今，我们倾向于将可能性与不可证明性和不可计算性等同起来，这是一个相当狭窄的观点。因此，值得回顾的是，第一个重要的不可能结果是在不同的背景下获得的：几何和代数。本章介绍的最重要结果是库尔特·戈德尔（Kurt Godel）的不完全性定理...
不可能的证明显然在基础中很重要。关于证明不可能的最基本问题的一个领域是计算复杂性理论，这是第5章的主题。但是，计算复杂性与基础之间还有更多联系。
实际上，有一个研究领域研究计算复杂性和逻辑之间的联系。它被称为“证明复杂性”，在第6章中进行了介绍。尽管确实有迹象表明复杂性应该在基础中发挥重要作用，但我们没有任何证明这种联系的结果。...
关于数学基础的每本书籍都应提及数学基础的基本哲学方法。我也在第7章中做过这件事，但由于我不是哲学家，因此本章的主要部分集中在数学结果和数学与哲学边界附近的问题上。
它不涉及FMT和描述性的复杂性，但是有一些针对这些主题的好书（例如Leonid Libkin：有限模型理论的元素； Theoretical Computer Science的文本。EATCS系列； 2004年）
我接受我的回答，因为我还没有机会阅读Trung Ta推荐的书。