布尔函数图灵完成了吗

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布尔函数是函数。 $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$

布尔基已知是图灵完备的，因为它允许翻转任何序列或使其保持不变。门也可以这样说。 $(\vee,\wedge)$ $s\in\{0,1\}$ $\mathrm{XOR}$

从这个意义上讲，我们可以从初始机器配置这样和就会具有连续值： $\textbf{b}=(b_1,\ldots,b_n)$ $b_i\in\{0,1\}$ $\mathrm{XOR}$ $\textbf{v}_i$

$\textbf{b}\oplus\textbf{v}_1\oplus\textbf{v}_2\oplus\textbf{v}_3\ldots$

每个状态将表示中某个元素的排列。此过程有效地模仿了图灵机，并假定存在一些值的生成器。 $\textbf{v}_i$ $\textbf{b}$ $\textbf{v}_i$

那么我们可以说布尔函数图灵完成了吗？

turing-machines turing-completeness boolean-algebra

— 用户名
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这种机器怎么会陷入无限循环？

— Guildenstern 2014年

我想是这样的，虽然布尔电路形式与图灵形式是同构的，但是它并没有告诉您如何构建或生成这样的程序...您有点需要“知道”值 ...

v_{i}

$\textbf{v}_i$

— user13675

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非正式地讲，如果每个可计算的函数都有一个表示形式，那么（编程）语言是图灵完备的。通用可计算函数接受任意大小的输入。另一方面，布尔函数接受固定大小的输入。因此，布尔函数甚至不符合潜在的图灵完备的要求。

这里有关完整性的概念是连接词的完整基础。如果可以使用表示（对于任意）上的每个布尔函数，则一组连接词（对于任意布尔值具有进制函数）是完整的。以下集合是完整的：de Morgan基和基。相反，并不完整：它只能表示线性函数。 $k$ $k$ $x_1,\ldots,x_n$ $n \geq 1$ $\{\lnot,\lor,\land\}$ $\{\lnot,\Rightarrow\}$ $\{\lnot,\oplus\}$

— Yuval Filmus
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他们的对手布尔回路是否会完善？我猜他们是因为库克（在他对3SAT的NP完整性的证明中）显示出图灵机和布尔电路如何等效？

— user13675 2014年

@ user13675不，这是完全相同的问题。对于每种尺寸的输入，每台停机的图灵机都可以转换为等效的布尔电路或公式，但是对于每种尺寸，您将需要不同的布尔电路或公式。

— Yuval Filmus 2014年

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严格来说，正如YF回答的那样，有限的电路不可能是图灵完整的。

但是，值得一提的是在回答这个问题（也许是您要寻找的东西）方面有一个先导，这个紧密相关的概念在理论上被广泛使用，其中电路用于计算功能的方法比图灵完整的方法更强大。

即电路系列。一族电路可以计算无限的语言。每个大小为输入都具有通过某种方法构建的关联电路/功能，而不必通过TM构建！可以由可确定的TM计算的电路语言称为统一电路，而在此类中不可构造的电路称为非统一电路。 $n$ $C_n$

— z
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