测试四面体是否位于多面体中

我有一个四面体 和一个多面体。受限制，使其始终与共享所有顶点。我想，以确定是否的谎言里面。$t$ 吨p $p$$t$$p$$t$ $p$

我想在问题上添加一个细节，以防可能对解决方案有所帮助：是Delaunay四面体，面是三角形，并且相对于顶点都是Delaunay。四面体是德劳内如果外接球的顶点包含在它里面没有其他的顶点。A面是强烈德洛奈如果存在其表面上含有该面的顶点，但没有其他顶点一个外接球上或内部的。$t$$p$$p$

下图显示了空间中的相同问题： $2D$

原始多边形$p$：

的顶点的Delaunay三角剖分$p$：

对三角形进行内部/外部测试的结果$t$（阴影三角形位于 ，其余三角形位于外部）：$p$

所需结果（在三角形外部修剪）：

我最初的问题是在3D空间中，因此上图中的三角形转换为四面体，多边形转换为任意多面体。我已经弄清楚了这个问题的一些表述：$t$$p$$p$

公式1
的唯一可以在之外的部分是它的边缘和三角形面，但通常可能存在一个，其表面上所有的外部都具有边，因此，也可以将此问题公式化为：测试四面体是否存在位于之外的面？p p t t $t$$p$$p$ $t$$t$ $p$

公式2
对于这个问题，我还有另一种可能的观点，但是缺乏任何正式的想法：从
几何学上讲，如果在外部，那么它将始终粘附在的外表面上。因此，如果我们可以计算等高线（非正式地是外边界） 和使得和是的顶点集，则如果位于。 $t$C ^ V Ç V p V = V 吨 ∪ V p V 吨，V p吨，p C ^ V = C ^ V p吨$p$$C_{V}$$C_{V_{p}}$$V=V_{t}\cup V_{p}$$V_t,V_p$$t,p$$C_{V}=C_{V_p}$ $t$$p$

我想知道：

• 如何解决配方1或配方2？
• 还是有完全不同的方法来解决这个问题？

更新：
我现在意识到可以将这个问题简化为多面体问题中的Point。由于外部四面体将至少有一个面位于之外，因此该面上的任何任意点（通常不包括其顶点）都将始终位于之外。因此，对于每个面，我需要取一个任意点并测试该点是否位于之外。p p 吨$t$$p$ $p$$t$ $p$

从多边形文章的角度，我开始了解射线投射算法和缠绕数算法。对于点位于的表面的情况，射线投射在数值上不稳定。但是绕组数算法的数值鲁棒性尚未解决。 $p$

基于以上所述，我的核心问题现在似乎是（请提出是否应该将其作为一个单独的问题提出）：
是否存在针对多边形问题中的点的数值鲁棒算法？

我最近在此处找到 Alec Jacobson等人的论文“使用广义绕组数进行稳健的内外分割” 。它解决了使用广义绕组数概念确定点是否位于任意（具有自相交，非流形，开放表面等的）多边形网格的内部（或外部）的问题。

$t$$p$