是否存在图灵完全类型的lambda演算？

是的，当然。根据设计，许多类型的Lambda演算仅接受强归一化项，因此它们无法表达任意计算。但是类型系统可以是任何您喜欢的类型。使其足够广泛，您就可以表达所有确定性计算。

包含lambda演算的图灵完备片段的琐碎类型系统是接受每个类型都正确的术语（具有top类型）的系统。

\frac{}{Γ ⊢ 中号 ： ⊤}

$\dfrac{}{\Gamma \vdash M : \top}$

实际上，静态类型函数编程语言的核心是类型化lambda演算，它可以使固定点组合器也具有良好的类型。例如，先从简单类型λ演算（或ML类型系统或系统; F。或者你选择的任何其他类型的系统），增加一条规则，使得一些不动点组合子像类型良好。 $\mathbf{Y} = \lambda f. (\lambda x. f (x\,x)) (\lambda x. f (x\,x))$ 上面介绍的规则相当笨拙，因为它们像

\frac{Γ ⊢ F ： Ť \to Ť}{Γ ⊢ ÿ F ： Ť} \frac{Γ ⊢ F ： Ť \to Ť}{Γ ⊢ （ λ X 。 F （ X X ） ） （ λ X 。 F （ X X ） ） ： Ť}

$\dfrac{\Gamma \vdash f : T \rightarrow T} {\Gamma \vdash \mathbf{Y}\,f : T} \qquad \dfrac{\Gamma \vdash f : T \rightarrow T} {\Gamma \vdash (\lambda x. f (x\,x)) (\lambda x. f (x\,x)) : T}$

即使他们的组成部分类型不正确，它们也类型齐全-它们的组成不完全。一个简单的解决方法是添加一个定点组合器作为语言常数，并为其提供增量规则。那么具有类型系统和具有类型保留的约简语义是一个简单的问题。您确实会从纯Lambda微积分进入带常数的Lambda微积分领域。

Y f

$\mathbf{Y}\,f$

\begin{matrix} \frac{}{Γ ⊢ 固定 ： （ Ť \to Ť ） \to Ť} \\ 固定 F \to F （ 固定 F ） \end{matrix}

$\begin{gather*} \dfrac{}{\Gamma \vdash \textbf{fix} : (T \rightarrow T) \rightarrow T} \\ \textbf{fix}\,f \to f (\textbf{fix}\,f) \\ \end{gather*}$

坚持纯lambda演算，一个有趣的类型系统是具有交集类型的lambda演算。

\frac{Γ ⊢ 中号 ： Ť_{1个} Γ ⊢ 中号 ： Ť_{2}}{Γ ⊢ 中号 ： Ť_{1个} \land Ť_{2}} （ \land 一世 ） \frac{}{Γ ⊢ 中号 ： ⊤} （ ⊤ 一世 ）

$\dfrac{\Gamma \vdash M : T_1 \quad \Gamma \vdash M : T_2} {\Gamma \vdash M : T_1 \wedge T_2} (\wedge I) \qquad\qquad \dfrac{} {\Gamma \vdash M : \top} (\top I)$

交叉点类型在归一化方面具有有趣的属性：

$\top I$
$\top$

有关为何交集类型具有如此显着范围的见解，请参阅具有并集类型的lambda项的表征。

因此，您有一个定义图灵完备语言的类型系统（因为每个术语的类型都很好），并且具有终止计算的简单特征。当然，由于这种类型的系统具有归一化的特征，因此这是不确定的。

_{$(\top I)$ $(\wedge I)$ $I$ $\wedge$ $\top$ $\rightarrow$ $\rightarrow$}

— 吉勒斯“别再邪恶了”
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