集体支付账单问题

一张桌子有个人。第个人必须支付美元。 $n$ $i$ $p_i$

有些人没有正确的账单来支付，因此他们提出了以下算法。 $p_i$

首先，每个人都把一些钱放在桌子上。然后，每个人都收回他们多付的钱。

钞票有固定的面额集（不是输入的一部分）。

一个例子：假设有两个人，爱丽丝和鲍勃。爱丽丝欠5 美元，有5张1 美元的钞票。鲍勃欠2 美元，有一张5 美元的钞票。爱丽丝和鲍勃把所有的钱都放在桌子上之后，鲍勃收回了 3 美元，每个人都很高兴。

当然，有时候人们不必把所有的钱都放在桌子上。例如，如果爱丽丝有上千元的1 美元钞票，那么她就不必将它们全部放到桌子上，然后再将其中的大部分拿回来。

我想找到一种具有以下属性的算法：

输入指定人数，每个人欠多少钱以及每个人拥有多少种面额的钞票。
该算法告诉每个人第一轮要把哪些钞票放在桌子上。
该算法告诉每个人第二轮要从表中删除哪些账单。
放在桌子上的钞票数+从桌子上取出的钞票数被最小化。

如果没有可行的解决方案，该算法将返回错误。

algorithms optimization

— 徐超
source

钞票的面额是预先确定的（例如，对美国的面额为$ 1，$ 2，$ 5，$ 10，$ 20，$ 50和$ 100）还是输入的一部分？换句话说，它的算法必须处理梅菲斯特有可能3 $ 7票，一个$ 13法案和15对$ 4对账单？

— JeffE

账单是固定的。我想在那种情况下我无法减少子集和并证明它是NP-Hard。我将对其进行编辑。

— 赵超

您需要一种将4/5表示为单个优化的方法。无法针对这两个独立条件进行优化。我知道您的打算，我之前也遇到过类似的问题，但是您需要准确地量化针对两种情况进行优化的含义。

— edA-qa mort-ora-y

作为起点，我认为最好是假设每个人都准确地支付了账单，或者算法仅报告失败。

— JeffE

这里到底是什么问题，是否有复杂性要求？编写朴素的算法似乎微不足道，还是我错过了一些东西？

— 斯特凡希门尼斯

Answers:

如果以稍微不同（但等效）的方式重述该问题，则算法将变得更加明显：

有参与方：个人和一个餐厅。令为在饭食完结并支付后应该拥有的金额。例如，如果爱丽丝（Alice）有36 美元并欠25 美元，鲍勃（Bob）有12 美元并欠11 美元，卡尔（Carl）有30 并欠25 ，我们说是餐厅，并且有： $n$ $n-1$ $p_i$ $i$ $p_0$

$p = (61, 11, 1, 5)$

就是说，当饭食在餐厅时应为 61 美元，爱丽丝应为 11 美元，鲍勃应为 1 美元，卡尔应为 5 美元。

现在，让列举所有涉及的账单。例如： $b$ $m$

$b = (1, 5, 10, 20, 1, 1, 5, 5, 10, 20)$

钞票的面额无关紧要，但是在此示例中，我选择了纸币的美元面额，因为它们很熟悉。

我们正在设法减少易手票据的数量，因此我们使用矩阵将“成本”与离开票据的人相关联。该矩阵中的0项指示每个方以哪个帐单开头（对于所有，因为餐厅以无帐单开头）。 $i$ $j$ $\{0,1\}$ $C$ $C_{0,j} = 0$ $j$

继续我们的示例：

C = [\begin{array}{cccccccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]

$C = \left[ \begin{array}{cccccccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right]$

表示Alice以$ 1，$ 5，$ 10，$ 20开始，Bob以$ 1，$ 1，$ 5，$ 5开始，而Carl以$ 10和$ 20开始。

同样，目标是最大程度地减少易手的票据数量。换一种说法：

\begin{aligned} Minimize: & \sum_{i = 0}^{n - 1} \sum_{j = 0}^{m - 1} C_{i, j} x_{i, j} \\ subject to: & \sum_{i = 0}^{n - 1} x_{i, j} = 1 for 0 \leq j < m, \\ \sum_{j = 0}^{m - 1} x_{i, j} b_{j} = p_{i} for 0 \leq i < n, \\ and & x_{i, j} \geq 0 \end{aligned}

$\begin{align} \text{Minimize:} & \sum_{i=0}^{n-1}{\sum_{j=0}^{m-1}{C_{i,j} x_{i,j}}} \\ \text{subject to:} & \sum_{i=0}^{n-1}{x_{i,j}} = 1 \text{ for } 0 \le j \lt m, \\ & \sum_{j=0}^{m-1}{x_{i,j}b_j = p_i} \text{ for } 0 \le i \lt n, \\ \text{and} & x_{i,j} \ge 0 \end{align}$

第一个约束条件是该解决方案只能将特定的账单分配给一方，第二个约束条件可以确保每个人都支付适当的金额。

这是0,1整数编程问题，并且是NP完全的（请参阅[ Karp 1972 ]）。有关线性编程的Wikipedia页面包含有关可用于这些类型问题的不同算法的信息。

可能有多个最佳解决方案。手工解决这个例子的第一个方法是：

x = [\begin{array}{cccccccccc} 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}]

$x = \left[ \begin{array}{cccccccccc} 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right]$

这意味着爱丽丝恰好支付$ 5和$ 20中，鲍勃恰好支付$ 1 $ 5和$ 5，和卡尔支付高价$ 10和$ 20，然后删除一个$从表5。

我还使用了Sage Math系统的Mixed Integer Linear Program模块，该模块具有使用不同求解器后端（GLPK，COIN，CPLEX或Gurobi）的能力。它给出的第一个解决方案是

x = [\begin{array}{cccccccccc} 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}]

$x = \left[ \begin{array}{cccccccccc} 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right]$

这几乎是一样的，除了卡尔拿走了鲍勃在桌上的“其他” 5美元。

以这种方式解决问题可以满足您列出的所有属性（您可以从和解决方案矩阵推断出哪些票据最终会出现在哪里）。也许是＃4例外，该问题的评论中对此进行了讨论。我不清楚在线性方程组没有可行解的情况下您要做什么： $C$ $x$

确定可以支付减少的总额的一部分人？也许还有一部分人仍然可以支付全部账单，即他们为朋友付款。

您的最终声明使您似乎对票据面额固定的情况感兴趣，但这并不会改变问题。

无论如何，还有一种解决方案，其中每个人都使用信用卡付款。 $O(1)$

— 大卫
source

这个问题可以用IP表示（几乎？）。但是这个解决方案有多好？创建表格的IP是否可以有效解决？如果没有，是否有更快的算法？

— 拉斐尔

该IP存在一种更简化的形式，即具有特定面额的票据数量的变量而不是0.1变量。固定面额确实会稍微改变复杂度，如果人数也固定，Lenstra的算法可以在多项式时间内求解。

— 赵超

-2

当然，一些基本的开始可能是要包括可用于达到总账单总额的最小账单。如果您不愿意允许2 美元的钞票，那么每个人都可以简单地从泳池中取出最大的钞票，然后相对较快地到达那里。在$ 2法案抛出掉，因为它没有进行细分，很好地在其他教派和大大的问题复杂化。当然，还可以进行很多其他优化，以观察是否需要在第一轮中添加更多资金（例如，如果1 美元面额的纸币的总金额足以支付该金额，那么每个人可以停止投入，除非他们尚未投入足够的账单）。

— 亨德森
source