永不停止的机器是否总是循环运行？

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图灵机返回到先前遇到的状态，其读/写头位于完全相同的磁带的同一单元上，将陷入循环。这样的机器不会停止。

有人可以举一个永不停止的不循环机器的例子吗？

computability turing-machines halting-problem

— 空心7
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1

请注意：磁带也可以不同：当TM在步骤

进入同一单元并且在步骤

处于相同状态时，一个无限循环的充分（但不是必需）条件是：步骤

在步骤

和步骤

之间，磁头访问磁带的部分等于进入

之前的相应部分。

t_{1}

$t_1$

t_{2} > t_{1}

$t_2 > t_1$

t_{2}

$t_2$

t_{1}

$t_1$

t_{2}

$t_2$

t_{1}

$t_1$

— 2012年

4

如果TM必须循环以使其无法停止，则可以相当轻松地解决TM的停止问题：记住所有先前的配置，并在每一步中查看您是否已看到配置之前，如果是这样，您知道事情不会停止（否则，因为我们假设它必须循环才能永远运行，所以它不会永远运行，即它将停止，在这种情况下，我们最终会停止知道这一点）。

— Patrick87

受到@Niel de Beaudrap答案的启发：图灵机可以计算oeis.org/A014445序列，并在得到奇数时停止。它可以将oeis.org/A016742计算为一个连续的总和，并在数字为奇数时停止。它可以计算x^2其中x间循环-100和100，如果结果是否定的循环与模和暂停来完成。它可以计算x%2x的范围从零到正无穷大，当结果等于2时停止。在汇编语言中，do / while / for循环全部下降都会发生条件跳转，但仅cond跳转意义不大。

— 列昂尼德

该问题的假设仅适用于确定性机器。

— 拉斐尔

15

考虑一下TM，它总是将磁带头向右移动，并在每个步骤上打印一个特殊的非空白磁带符号。这意味着TM永远不会停止，因为它总是向右移动，并且永远不会重复一个状态，因为在经过k步之后，磁带头位于机器的第k个单元上方。因此，机器的每种配置都不同于其他所有配置，并且机器总是循环运行。

我们也可以非建设性地展示这种机器的存在。矛盾的是，每个永不停止的TM最终都会循环。这意味着，如果您在字符串上启动TM ，则最终会发生以下情况之一： $M$ $w$

暂停，或 $M$
重复配置。 $M$

在这种情况下，停止问题可以如下确定。给定一个TM 和字符串，在上模拟，在每一点上写出磁带的内容，当前状态和当前磁带位置。如果此配置重复，则输出“不停止”。否则，如果在停止，则输出“停止”。由于可以保证其中之一最终会发生，因此该过程始终会终止，因此我们将有一个针对停止问题的算法，我们知道该算法不存在。 $M$ $w$ $M$ $w$ $M$ $w$

希望这可以帮助！

— templatetypedef
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哈，打败你去编辑。看到我对这个问题的评论。我喜欢这种方式解释为什么并非所有非停止TM都必须循环...它会建立直觉。

— Patrick87

@ Patrick87-对不起，我没有注意到这个评论。我想到了上下班时的补遗，一回来便坐下来进去。

— templatetypedef

没问题，伙计...我很高兴您添加了它，因为我认为这是解释它的好方法。我仅将其添加为评论，而不是作为答案，因为您对此表示反对。：D

— Patrick87

实际上，就停顿问题而言，无限期地返回并更改磁带广告似乎是“真正的问题”。您可以检测到的那些虚空行者。

— 拉斐尔

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计算π的所有小数位（或任何其他非终止分数，以任何底数为单位）的Turing机都不会停止，并且可以使它只能在每个单元格上写入有限的次数。当然，没有过渡到停止状态的事实将是毫无用处的，但这至少是自然的例子。

f (n) = {\begin{cases} 3 n + 1, & if n is odd; \\ n / 2, & if n is even, \end{cases}

$f(n) = \begin{cases} 3n+1 , & \text{if $n$ is odd}; \\ n/2, & \text{if $n$ is even}, \end{cases}$

f \circ f \circ \dots f (n) = n

$f \circ f \circ \cdots f(n) = n$ ，...渐近发散到无穷大。如果存在后者的任何序列，这将意味着我上面描述的Turing机器将是非重复的，因为磁带将不断更改为越来越大的数字。

— 尼尔·德·波德拉普（Niel de Beaudrap）
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我喜欢玩的数字pi。只要任何数字的平方pi正好等于7，TM都可能会停止

— Leonid

@Leonid：您当然可以考虑使用图灵机，该图灵机接受一些输入，并在该输入确定的条件下停止运行。您甚至可以指定停止输入的条件。正如您所描述的，您可以提供一个输入，以设置从未满足的约束。

— Niel de Beaudrap

10

考虑任何永不停止将读/写头移到左侧的图灵机。

— 杰夫
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其中一些仍然循环。</ nitpicking>

— 拉斐尔

5

如果这是真的，那么停顿问题将是可以判定的。您只需记录执行Turing机器时看到的每个（磁带，状态）对，然后机器就会停止（在这种情况下显然会停止），或者您看到以前见过的一对，在这种情况下，机器不停止。

由于无法确定停止问题，所以这不是真的。（有关其他示例，请参见其他示例。）

— 递归地
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这个答案对templatetypedef的答案有什么作用？

— 拉斐尔

我想不是。抱歉，当我写我的书时，我不知何故错过了那个答案。

— RecursivelyIronic