计算大整数的位数

给定二进制表示的两个整数和n，计算x n的位大小的复杂度是多少？$x$$n$$x^n$

这样做的一种方式是计算通过计算的近似日志2（X ）以足够的精度。看来可以在O （M （k ）log k ）中完成以k位精度计算log 2（x ），其中M $1+\lfloor \log_2(x^n)\rfloor=1+\lfloor n\log_2(x)\rfloor$$\log_2(x)$$\log_2(x)$$k$$O(M(k)\log k)$是计算长度为 k的两个整数的乘积所需的时间。如果 s是 x和 n 的位大小的边界（如果我没有出错），这将产生一个复杂度大约为 O （s log 2 s ）的（不是特别简单的）算法。$M(k)$$k$$O(s\log^2 s)$$s$$x$$n$

我们可以击败，其中s是x和n的大小（如果它们具有可比较的大小）？是否有一种简单的算法可以使这种复杂性更好？$O(s\log^2(s))$$s$$x$$n$

注意：我对诸如图灵机之类的理论模型的复杂性感兴趣。

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我的第二个问题的答案是否定的：

主张。计算高达精度k的至少与计算x 2 k的位大小一样困难。$\log(x)$$k$$x^{2^k}$

证明。让表示整数y的位大小。第一通知，对于非负整数ÿ，的比特大小ý是1 + ⌊ 日志ÿ ⌋。$|y|$$y$$y$$y$$1+\lfloor \log y\rfloor$

因此，。现在2 k log （x ） 是log （x ）向左移动k个位置。因此，只需将x 2 k的位大小减1，然后将结果k的位置向右移动，就可以计算出精度为k的log （x ）。$\left|x^{2^k}\right| = 1+\lfloor 2^k\log x\rfloor$$2^k\log(x)$$\log(x)$$k$$\log(x)$$k$$1$$x^{2^k}$$k$