有效地找到一组自然数的最大成对GCD

考虑以下问题：

令是自然数的有限子集。$S = \{ s_1, s_2, ... s_n \}$

令 | 其中是和最大公约数$G = \{$ $gcd(s_i, s_j)$$s_i, s_j \in S,$ $s_i \neq s_j \}$$gcd(x,y)$$x$$y$

找到的最大元素。$G$

这个问题可以通过使用Euclid算法获取每对最大公约数并跟踪最大对数来解决。

有更有效的解决方法吗？

这是一个高效的算法（在Python中）。请在下面找到说明。

def max_gcd_pair(S):
    # Assumption 1: S is the list of numbers
    # Assumption 2: There are no duplicates in S

    s = set(S)
    m = max(S)

    res = 0
    i = m

    while(i > 0):
        a = i
        cnt = 0
        while (a<=m): # a maxed at max of the list
            if a in s:   
               cnt += 1
            a += i

        if cnt >= 2:  # we have found the result
            res = i
            break

        i = i -1 

    return res

以上代码段的说明：

我们在此问题中观察到以下几点：

1. 结果不能超过 max(S)
2. 结果是一个数字，此列表中有两个或多个倍数 S
3. 实际上，结果是max具有上述属性的所有此类数字。

基于这些观察，该程序执行以下操作：

1. 做一个set清单。可以有效地搜索集合O(log(n))
2. 找到列表的最大值并将其存储在变量中m。
3. 从m直到开始1，找到集合中具有两个或多个倍数的第一个数字。找到的第一个这样的数字是结果。

我希望这很清楚。如果您需要更详细的说明，请告诉我。