如何在多项式时间内验证旅行商问题的解决方案？

因此，TSP（旅行商问题）决策问题是NP完整的。

但是我不明白我如何验证给定的TSP解实际上在多项式时间内是最优的，因为没有办法在多项式时间内找到最优解（这是因为问题不在P中）？

有什么可以帮助我看到验证实际上可以在多项式时间内完成的事情吗？

更确切地说，我们不知道TSP是否在。即使可能普遍认为P ≠ N P，也有可能在多项式时间内求解。现在，回想一下问题是N P- Hard和N P -complete 意味着什么，例如，请参阅此处的答案。我相信您的困惑源于以下定义：N P不一定是N P难题。$\mathsf{P}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

当您和您链接到的Wikipedia页面上声明时，决策问题是 -complete：给定成本和整数x，请确定游览是否比x便宜。解决问题的一种方法是在N P中查看给定解，可以轻松地在多项式时间内验证该解是否比x便宜。你该怎么做？只需按照给出的导览，记录其总费用，最后将总费用与x进行比较即可。$\mathsf{NP}$$x$$x$$\mathsf{NP}$$x$$x$

问题的关键在于您必须考虑决策问题：

旅行商问题（决策版）。给定一个加权图G和一个目标成本C，在G中是否存在一个哈密顿循环，其权重最大为C？

对于“是”实例，证书只是权重最大为C的某个哈密顿循环。如果您可以有效地解决此问题，则可以通过二分查找来找到最小游览的成本，首先以整个网络的权重为上限。

您可能正在考虑确定给定TSP解决方案是否是最佳解决方案的问题。但是，尚无已知的多项式解决方案，这意味着此问题属于NP难问题，但不一定是NP完全问题。

TSP 决策问题实际上是确定图中任何解决方案的权重是否G最多C（如Niel的答案中所述），这在多项式时间内肯定是可验证的。

您可以证明这是最佳的，这是通过查询是否存在更短的解决方案来解决多项式时间内的决策问题（请参阅其他答案）的预言。如果您的目标是根据给定的Oracle构建最佳解决方案，请执行以下操作。通过二分查找找到最小的总权重（或者，如果存在非整数的边缘权重，则找到与最小的总权重相差小于两个边缘权重之间的最小差的总权重）。调用此值。对于图中的每个边，删除边，然后查询预言机，以查看是否仍然存在最多M的解。如果是这样，请忽略边缘，然后继续。如果没有，将边缘放回去，然后继续。处理完所有边缘后，将剩下最小权重的哈密顿循环。$M$$M$