前缀语言的可判定性

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在期中，存在以下问题的变体：

对于可确定的定义显示不一定可确定。 $L$
$Pref (L) = {x ∣ \exists y s.t. x y \in L}$ $\text{Pref}(L) = \{ x \mid \exists y \text{ s.t. } xy \in L\}$ $\text{Pref}(L)$

但是，如果我选择那么我认为也是，因此可以确定。而且给出相同的结果。而且由于必须是可确定的，因此我无法选择停止问题。 $L=\Sigma^*$ $\text{Pref}(L)$ $\Sigma^*$ $L=\emptyset$ $L$

我如何才能找到这样的是不可判定？ $L$ $\text{Pref}(L)$
上的哪些条件将使可确定，而哪些将使其不可确定？ $L$ $\text{Pref}(L)$

computability undecidability

— 冉G.
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注意，在可判定语言之前使用存在量词，我们可以获得任何语言，即每种语言都可以表示为

{x \in Σ^{*} ∣ \exists y \in Σ^{*} ⟨ x, y ⟩ \in V}

$\{ x\in \Sigma^* \mid \exists y \in \Sigma^* \ \langle x,y \rangle \in V \}$

其中是可确定的语言。这些包括不确定的re语言，例如。 $V$

A_{T M} = {⟨ e, x ⟩ ∣ e encodes a Turing machine which accepts x}

$A_{TM} = \{ \langle e, x\rangle\ \mid \text{$e$ encodes a Turing machine which accepts $x$} \}$

唯一的区别是在这里我们必须将和分开。标准技巧是使用新符号来分隔两个部分（假设分隔符属于）。因此，包括不确定的语言在内的任何语言都可以以此格式表示。 $x$ $y$ $y$

对于第二个问题，没有通用的算法方法来检查给定可确定语言的前缀是否不可确定。这是根据赖斯定理得出的。

— 卡韦
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您可以明确给出创建的吗？

V

$V$

A_{T M}

$A_{TM}$

— Ran G.

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假设为旨在表示上的的停止接受计算的，将检查是否为上的的接受计算。

y

$y$

M_{e}

$M_e$

x

$x$

V

$V$

y

$y$

M_{e}

$M_e$

x

$x$

— 卡夫

那是一个很好的解决方案！

— Ran G.

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元知识：您想找到一种不确定的语言，它仍然具有一定的计算属性。任意不确定的语言可能不会使您走得太远。但是一个半定的……

更有力的暗示：什么是半确定性语言？这意味着我们可以枚举单词：这是一组单词，使得存在整数，使得 $u$ $n$

u = f (n)

$u = f(n)$

盯着这个方程，要牢记可决策性和前缀。

直观地说，假设您有一些并且您想测试它是否在。通常，您不会比检查，，等。其中是字母。这是一个部分递归函数，用于测试成员资格。当然，我们知道已经存在；我们需要证明的是，有时没有替代方法。让我们取一些集合，它是递归的而不是递归的，并且令为的枚举（ $x$ $\mathrm{Pref}(L)$ $x a$ $x b$ $x a a$ $a,b,\cdots$ $\mathrm{Pref}(L)$ $\mathrm{Pref}(L)$ $S \subset \mathbb{N}$ $f$ $S$ $S = {f(x) \mid x\in\mathbb{N}}$ ）。

假设字母表包含三个符号，和（如果你只有两个符号，编码作为，为和为）。如果，则使为以2为基数，使用符号和且前导。 $0$ $1$ $:$ $\{\aleph,\beth\}$ $0$ $\aleph\aleph$ $1$ $\aleph\beth$ $:$ $\beth$ $n\in\mathbb{N}$ $\bar n$ $n$ $0$ $1$ $0$

令。用简单的英语来说，我们采用的元素并增加其枚举索引。显然是可确定的（检查是否有一个，两个数字序列不包含前导，并且第一个数字序列按第二个字母拼写的数字拼写图像）。但是，确定某个是否为的前缀等同于确定是否在，这是您不能不知道原因，因为不能通过假设进行递归。正式地， $L = \{\bar y\mathord:\bar x \mid y = f(x)\}$ $S$ $L$ $:$ $0$ $f$ $\bar y$ $L$ $y$ $S$ $x$ $S$ $\mathrm{Pref}(L)$ 不可确定，因为不可确定。 $\mathrm{Pref}(L) \cap \{0,1\}^*\mathord: = S\mathord:$

— 吉尔斯“别再邪恶了”
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