确定时间和空间中的特定数字（最坏的情况）

$\newcommand\ldotd{\mathinner{..}}$假定$A[1\ldotd n]$是整数，则对于所有1 \ le k \ le n均为0 \ le A [k] \ le m，并且每个出现除A [1 \ l点缀n]中的特定数字以外的数字是奇数。尝试查找出现为偶数的数字。$0\le A[k]\le m$$1\le k\le n$$A[1\ldotd n]$

有一个$\Theta(n\log n)$算法：我们将A [1 \ ldotd n]排序$A[1\ldotd n]$为$B[1\ldotd n]$，然后将$B[1\ldotd n]$分解成许多块，其元素值为相同，因此我们可以计算每个元素的出现。

我想找到最坏的情况$O(n)$ -时间和$O(n)$ -空间算法。

假设$m=\Omega(n^{1+\epsilon})$和$\epsilon>0$，那么基数排序是不可接受的。 $\DeclareMathOperator{\xor}{xor}$ 二进制按位运算是可接受的，例如$A[1]\xor A[2]$。

这是一个简单算法的想法；仅计算所有事件！

1. 查找。-时间$m = \max A$$\Theta(n)$
2. “分配”数组。-时间 ¹$C[0..m]$$O(1)$
3. 每当您发现时，就对迭代并将加1 。如果为，则将添加到线性列表。-时间$A$$C[x]$$A[\_]=x$$C[x]$$0$$x$$L$$\Theta(n)$
4. 遍历并找到具有的元素。-时间。$L$$x_e$$C[x_e]$$O(n)$
5. 返回。$x_e$

总而言之，这为您提供了一个线性时间算法，该算法可能会使用（就分配而言）大量内存。请注意，在这里，独立于能够在恒定时间内随机访问至关重要。$C$$m$

用这种方法在空间上附加一个更加困难。我不知道任何提供时间查找的字典数据结构。您可以使用哈希表，这里的实现具有预期的查找时间（为表的大小，为存储元素的数量），因此您可以随心所欲地获得线性空间，这是期望的。如果所有值都映射到相同的哈希值，那么您就搞砸了。$O(n)$$O(1)$$O(1 + k/n)$ $n$$k$$A$

1. 在RAM上，这是隐式完成的。我们需要的只是开始位置，也许是结束位置。

一个几乎平凡的解决方案（使用空间）是使用哈希映射。回想一下，哈希映射已摊销了运行时来添加和查找元素。$\Theta(n)$$\mathcal{O}(1)$

因此，我们可以使用以下算法：

1. 分配一个散列图。遍历。对于每个元素，增加出现的次数，即。$H$$A$$i \in A$$H(i)++$

2. 遍历哈希映射的键集，并检查哪个键的出现次数均匀。

现在，这是一个简单的算法，实际上并没有使用任何大技巧，但有时即使足够也可以。如果没有，您可能想要指定您施加的空间限制。