从边按点距离加权的图形中恢复点嵌入

10

假设我给您一个带有加权边的无向图，并告诉您每个节点都对应于3d空间中的一个点。每当两个节点之间有一条边时，该边的权重即为点之间的距离。

您的目标是在仅提供可用距离（以边权重表示）的情况下重建点的相对位置。例如，如果我给您，那么您知道这些点是四面体的顶点。您不知道它相对于原点的位置，位置或方向，或者是否已被镜像，但是您可以知道它是四面体。 $d_{0,1} = d_{0,2} = d_{0,3} = d_{1,2} = d_{1,3} = d_{2,3} = 1$

通常，如果我给您所有的边长，问题很容易解决。只需任意选择一个点在，然后选择一个相邻点并将其放置在，然后将一个公共邻居三角剖分到XY上平面，然后将最终的公共邻居三角剖分到半空间并打破了其余的对称性（假设您没有选择退化点）。您可以使用这四个点对所有其余的点进行三角剖分。 $p_0$ $(0,0,0)$ $p_1$ $(d_{0,1},0,0)$ $p_2$ $p_3$ $z > 0$

另一方面，当缺少一些边缘长度时，可能无法恢复嵌入。例如，如果有一个顶点在切割时使图形断开连接，那么如果移除了该顶点，它将分离的两个组件可能会相对摆动。

这就提出了问题：

找到解决方案的价格是多少？
您如何确定解决方案是否唯一，直到平移/旋转/镜像？3连通性足够吗？必要？
什么样的条件使问题变得微不足道？
如果我不保证边缘权重实际上对应于点距sin 3d，那么确定是否完全可以嵌入的代价是多少？

— 克雷格·吉德尼
source

对我来说感觉像是机器学习问题...

— vzn 2014年

我不知道该选择哪个答案。它们在非重叠方式上都很好。最高投票者之一！

— Craig Gidney 2014年

5

解决此问题的一种算法方法：将其视为由弹簧连接的一组节点，然后使其沉降/松弛成形状。

每个边对应一个弹簧；如果假设点和之间的距离为，则选择弹簧，因此理想情况下弹簧的长度应为（可以更长或更短，但这会消耗能量）。现在，我们要解决一组将总能量最小化的位置。假设每个顶点被放置在点。那么，这种安排的总能量将是 $(v,w)$ $v$ $w$ $d_{v,w}$ $d_{v,w}$ $v$ $x_v \in \mathbb{R}^3$

E (x) = \sum_{(v, w) \in E} (distance (x_{v}, x_{w}) - d_{v, w})^{2} .

$E(x) = \sum_{(v,w) \in E} (\text{distance}(x_v,x_w) - d_{v,w})^2.$

这里给出了 '（它们是边缘上的权重），并且我们想求解 '（它们是点的坐标）。 $d_{v,w}$ $x_v$

我们可以解决最小化总能量的布置。然后，该布置为点的位置提供了合理的候选者。这是一个优化问题，有解决这种优化问题的标准技术。参见例如Erica Klarreich 的文章Network Solutions。 $x$

我认为没有任何保证可以提供正确的所需解决方案。最优化问题可能会解决一个不同的最优问题，而该最优问题不能反映您要寻找的点的实际排列方式。但是，如果您的图形足够密集，我怀疑它通常可以正常工作并为您提供所需的解决方案。

脚注：当然，即使在最佳情况下，我们也只能解决平移，旋转和反射问题，因为这些变换会保留所有距离。因此，您不能指望一个独特的解决方案-但您可能希望该解决方案在平移，旋转和反射之前都是唯一的。

最后，还有上嵌入图表投入了大量的工作的空间，同时最大限度地减少嵌入的失真。这很相关；你基本上是要求零失真嵌入到。因此，在这种情况下开发的技术也可能对您的问题有用。通常，该工作着重于寻找低失真的嵌入，因为该工作着重于没有完美的嵌入使所有距离完全匹配的情况，因此，它寻找一种低失真的解决方案（其中最大边缘距离匹配得很好）-因此工作重点放在一个稍有不同的问题上。但是，在您的情况下，他们的技术也可能有效。这值得一试。 $\ell_2$ $\ell_2$

— DW
source

4

问题是NP-Complete。点的位置是一个很好的证明，所以它在NP中，您可以将电路编码为“是否有令人满意的点集？” 问题。

从电路评估减少到距离嵌入

我们将通过创建坐标系，将逻辑位放入其中，将位连接为相等并为NOT和AND门创建小部件，将电路评估减少为距离嵌入问题。

座标。我们需要一种可以用来定位点的坐标系。通过创建点的“基本”四面体来执行此操作。相加四个都声明为。这将这四个点的形状强制为四面体。通过指定其他点到基体四个角中每个角的距离，可以相对于我们的四面体坐标系定位其他点。四面体可以平移，旋转和反射，但所有其他点也将发生相同的情况。 $1$
位。稍微说一下，我们相对于基本四面体放置点的三角形。三角形的法线必须沿Z轴指向上方，以便三角形平行于XY平面（在四面体坐标中）。同样，其边缘必须具有长度。完成此操作后，我们添加一个“值”点，指定为与其他三个点的距离为。我们不将连接到基本坐标系。这给了它两个可能的位置：居中 $1$ $v$ $1$ $v$ 在三角形的上方或下方，作为四面体的最后一个角。如果该点在三角形上方，则该位为ON；如果在三角形下方，则该位为OFF。 $\frac{1}{\sqrt{3}}$
电线。我们可以说两个值点之间的距离等于它们的三角形中心之间的距离，从而使两个位相等。有一个例外：当其中一位的顶角或底角正好与另一位的中心平面对齐时。在这种情况下，我们首先使用一根导线垂直移动其中一个钻头。
不。我们可以通过在同一个三角形上添加第二个值点来获得一点求反，但要求为的距离 $w$ $w$ 来自。这迫使相对于三角形采取与相反的位置，从而给我们一点相反的值。 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ $v$ $w$ $v$
暗示。实际上，我们必须解决的等距问题非常有用。当这些位以这种方式排成一列时（我们可以用一根垂直线将其强制），较高的位表示较低的位。如果较高的为真，则仅较低的一个的顶部是正确的距离。如果较高的为假，则顶部和底部的距离都正确。
与。为了使等于 AND ，我们需要两个含义，以及一个在和达成一致时强制相等的小部件。含义只是 $C$ $A$ $B$ $A$ $B$ 和 $C \implies A$ 。为了制作小部件，我们垂直移动和使它们处于同一水平距离 $C \implies B$ $A$ $B$ 相距，则我们将移动到它们之间是等距的。然后我们将点和相加一个距离 $\frac{2}{\sqrt 3}$ $C$ $S_A$ $S_B$ 从和的值点分别得出，并迫使和之间的距离为 $\frac{\sqrt 2 - 1}{2 \sqrt 3}$ $A$ $B$ $S_A$ $S_B$ 。我们还添加了一个点距离 $\frac{\sqrt 2 + 1}{\sqrt 3}$ $S_C$ 和均为。这将在和的价值点之间创建一条链，其中为链的中心。当，链条被拉伸到极限，并且在的三角形的中心。当，迫使链节沿完全相反的方向移动，将其推到极限，并将放在的等于的值点上。强制 $\frac{\sqrt 2 + 1}{2 \sqrt 3}$ $S_A$ $S_B$ $A$ $B$ $S_C$ $A \neq B$ $S_C$ $C$ $A = B$ $S_C$ $C$ $A$ $C$ 的值点，我们将点插入距离 $S_D$ 从和的价值点来看均为。当，这不会约束的值点，但是当时，会强制。 $\frac{1}{2 \sqrt 3}$ $S_C$ $C$ $C$ $A \neq B$ $A=B=C$ $A=B$

使用这些元素，您可以将任何电路编码为距离嵌入。输入变成位，门被分解为NOT和AND，并在必要时引入新位，仅此而已。强制输出的位置为true，就会遇到可满足性问题。

— 克雷格·吉德尼
source

3

关于唯一性的部分答案：3连通性还不够。

最小计数器例如：立方体图（的超立方体格拉夫家族） $Q_3$

在此处输入图片说明

若要了解如何固定中所有边的长度不会使3维空间中的顶点在平移/旋转/镜像之前不具有位置，请查看如何展平纸板箱（移除2个相对的面）。 $Q_3$

以纸板箱的角为感兴趣的顶点。纸板箱的每个角与其他角的距离固定，与纸板箱共用的其他角。

尽管生成的图形的边缘比还要多，但它仍然可以使纸板箱变平-这是无法通过平移/旋转/镜像生成的变换。 $Q_3$

— 阿皮瓦（Apiwat Chantawibul）
source

我不太明白。但是，我确实意识到，通过将点放在彼此之上，可以将3连通性转化为有效的1连通性。因此，原始的3连通性是不够的。

— Craig Gidney 2014年

@DW我按照建议扩展了参数。我没有让您争论，因为four points laying above or below the other four可以通过镜像相互转换。

— Apiwat Chantawibul 2014年

K_{4}

$K_4$

K_{4}

$K_4$

K_{4}

$K_4$

3

这被称为以下问题，例如通过从可测量到附近节点的距离的传感器网络重建坐标而发生，并且本文可与领先算法一起用作小型调查。一种领先的方法称为奇异值投影，另一种奇异值阈值处理。该算法通常基于矩阵代数和秩降阶。本文实现了这两种算法，并给出了一些经验分析。

从局部距离信息重建欧氏距离徐，陈，Xu，Chen

— z
source