Lambda演算的组合解释

根据彼得·塞林格（Peter Selinger）的观点，拉姆达微积分是代数（PDF）。在本文的开头，他说：

众所周知，lambda演算的组合解释是不完善的，因为它不满足：在这种解释下，并不意味着\ lambda xM = \ lambda xN（Barendregt，1984）。$ξ$$M = N$$\lambda x.M = \lambda x.N$

问题：

• 在这里意味着什么等价？
• 给定等效性的定义，隐含的反例是什么？

等价只是正在讨论的等式理论中的等价。在这种情况下，这是表1中概述的理论。请注意，该理论不包含：这样做会使该理论具有可扩展性，而最终的目的是尊重的内涵，而会使CL趋于线性。部分延伸。我不确定为什么其他答案提到。η ξ λ $\lambda$$\eta$$\xi$$\lambda$$\eta$

注意在：$\lambda$

$$(M =_\beta N) \Longrightarrow (\lambda x.M =_\beta \lambda x.N) \tag{1}$$

这应该是非常直观：如果是可转化到当它孤零零地立着，那么它也是可转化到当它是一个subterm。β Ñ β Ñ λ X 。$M$$\beta$$N$$\beta$$N$$\lambda x.M$

所述 -rule，定义为 使得这种推理直接可能当它的一部分 -理论。它的CL类似物为： $\xi$ λ

$$\begin{align} M &\;= N \\ \hline (\lambda x.M) &\;= (\lambda x.N) \tag{$\xi_\lambda$} \end{align}$$ $\lambda$ $$\begin{align} M &\;= N \\ \hline (\lambda^* x.M) &\;= (\lambda^* x.N) \tag{$\xi_{CL}$} \end{align}$$

现在，关键是在CL中，以下内容不成立：

$$(M =_w N) \Longrightarrow (\lambda^* x.M =_w \lambda^*x.N) \tag{2}$$

换句话说，如果两个项弱相等，那么对于它们的伪抽象版本来说不一定是正确的。

因此，如果将添加到CL理论中，那么我们便开始将具有不同范式的项等同起来。$\xi_{CL}$

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注意。在此，表示弱等式。这意味着可以通过一系列和收缩（如果是理论的一部分，也可以是）转换为（反之亦然）。您可能知道，是的CL类似物。M N S K I = w = $M =_w N$$M$$N$$\mathsf{S}$$\mathsf{K}$$\mathsf{I}$$=_w$$=_\beta$

$\lambda^*$是文档第5页上定义的伪抽象。它具有以下属性：

$$(\lambda^*x.M)N \rhd_w [N/x]M \tag{3}$$

此属性使查找任何术语的CL类似物变得容易：只需将更改为并根据的定义应用翻译。λ λ * λ $\lambda$$\lambda$$\lambda^*$$\lambda^*$

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需要明确的是，此答案中的“反例” 不是（2）的反例。因为如果我们有：

Ñ = （λ * Ž 。Ž ）

$$M = x \tag{4}$$ $$N = (\lambda^*z.z)x \tag{5}$$

然后真正表示（应用第5页的翻译，以及在第4页末尾被定义为的事实）：I S K $N$$\mathsf{I}$$\mathsf{SKK}$

$$N = (\lambda^*z.z)x = \mathsf{I}x = \mathsf{SKK}x \tag{6}$$

由于，我们确实有。但是，如果这是一个反例，则应具有。但是，如果我们翻译，我们实际上会得到：中号= 瓦特 Ñ （λ * ý 。中号）≠ 瓦特（λ * ý 。Ñ $\mathsf{SKK}x \rhd_w \mathsf{K}x(\mathsf{K}x) \rhd_w x$$M =_w N$$(\lambda^* y. M) \not=_w (\lambda^* y. N)$

（λ * ý 。Ñ ）= （λ * ý 。小号ķ ķ X ）= ķ（小号ķ ķ X

$$(\lambda^* y. M) = (\lambda^* y. x) = \mathsf{K}x \tag{7}$$ $$(\lambda^* y. N) = (\lambda^* y. \mathsf{SKK}x) = \mathsf{K}(\mathsf{SKK}x)\tag{8}$$

并且很容易验证（7）和（8）仍然弱相等，因为：

$$\mathsf{K}(\mathsf{SKK}x) \rhd_w \mathsf{K}(\mathsf{K}x(\mathsf{K}x)) \rhd_w \mathsf{K}x \tag{9}$$

现在，对（2）的适当反例将是：

N =

$$M = \mathsf{K}xy$$ $$N = x$$

由于，我们肯定有。但是，如果仔细翻译抽象版本，则会发现两者都是不同的常规形式-根据Church-Rosser定理，它们不能转换。中号= 瓦特$\mathsf{K}xy \rhd_w x$$M =_w N$

首先我们检查：$M'$

$$\begin{align} M' &= \lambda^* x.\mathsf{K}xy \\ &= \mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K}x)(\lambda^* x.y)\\ &= \mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K}x)(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K})(\lambda^* x.x))(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K})(\mathsf{I}))(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K})(\mathsf{SKK}))(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\mathsf{KK})(\mathsf{SKK}))(\mathsf{K}y) \end{align}$$ 在这里您可以验证是正常形式。在这里，您可以检查，正如您应该期望的那样，如果行为类似于CL的抽象器。$M'$$(\lambda^* x.Kxy)P \rhd_w P$$\lambda^*$

现在我们检查： $N'$

$$\begin{align} N' &= \lambda^*x.x \\ &= \mathsf{I} \\ &= \mathsf{SKK} \end{align}$$

这显然是不同于的范式，因此根据Church-Rosser定理，。还要注意，即和 '对于任意输入 '产生相同的输出' 。中号” ≠ 瓦特ñ ' Ñ ' P ⊳ 瓦特 P 中号' Ñ '$M'$$M' \not=_w N'$$N'P \rhd_w P$$M'$$N'$$P$

现在我们证明了（2）在CL中不成立，因此并入的CL理论将等同于不弱相等的项。但是我们为什么要关心呢？$\xi$

好吧，首先，它使的组合解释不完美：显然，并非所有元理论特性都可以继承。$\lambda$

另外，也许更重要的是，尽管存在和CL的扩展理论，但它们最初并通常保持内涵。强度是一个很好的属性，因为和CL模型作为过程进行计算，并且从这个角度来看，总是产生相同结果（给定相等输入）的两个不同程序（特别是具有不同范式的术语）将不相等。在尊重这个原则，如果我们想使扩展的，我们可以添加例如。但是引入λ ξ λ λ η ξ $\lambda$$\lambda$$\xi$$\lambda$$\lambda$$\eta$$\xi$在CL中不再使它完全内涵化（事实上，只是部分如此）。正如文章所述，这就是的“恶名” 的原因。$\xi$

编辑这个答案是不正确的，因为另一个回答者正确指出。我使用了Asperti＆Longo的组合逻辑翻译，这与Selinger的巧妙不同。

实际上，这说明了一个关键点：lambda演算的“组合解释”不是一件容易的事！不同的作者所做的略有不同。

我将答案留给后代，但另一个答案更好。

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在此上下文中的等效性由Selinger的论文的表1和2定义。但是，公理化稍有不同可能会使事情更加清楚。

真正的意思是两个术语在理论中是可转换的。我们可以通过以下两个公理定义“可转换性”：$\lambda$

• （λ X 。中号）ñ = [ Ñ / X ] 中号$\beta$。，如果释放用于在$(\lambda x. M) N = [N/x]M$$x$$N$$M$
• λ ÿ 。M y = M y $\eta$。，如果在不自由$\lambda y. M y = M$$y$$M$

当然，还要加上使一致所需的通常的公理和推理规则。由此可见，任何反例都将依赖于规则被破坏时的自由变量条件。$=$$\eta$

我认为这可能是最简单的：

Ñ = （λ Ž 。Ž ）

$$M = x$$ $$N = (\lambda z. z) x$$

您可以自己验证，但是根据表2中的规则，它们各自的组合解释不相等。$\lambda y. M = \lambda y. N$