构造演算中的是什么？

我正在查看构造演算及其在Lambda Cube中的位置。

如果我理解正确，则可以将多维数据集的每个轴都认为是向简单类型的演算添加了另一个涉及类型的操作。第一个轴添加类型到术语运算符，第二个类型到类型运算符和第三个从属类型或术语到类型运算符。CoC具有这三个要素。$\lambda_\to$

但是，CoC引入了一个术语，并根据推理规则指出，但未使用。我了解这是用于同义命题，但是逻辑命题并未以此为准。P - [R ø p ：Ť ÿ p $Prop$$Prop : Type$

您能否向我解释的用途，出现的时间/地点，并根据立方体的轴进行解释（如果确实可以这样做的话）？$Prop$

在传统的马丁·洛夫类型理论中，类型和命题之间没有区别。这是“作为类型的命题”的口号。但是有时会有区别的理由。CoC正是这样做的。

CoC有很多变体，但大多数都有 但没有。当我们有无限多的类型Universe并使成为强制性时（这就是Coq所做的），就会显示出另一个区别。具体来说，考虑一个CoC变体，其中我们有和无限多个类型Universe，，和 的形成规则Ť ÿ p Ê：P - [R ø p P - [R ö p P - [R ö p Ť ý p ë 1 Ť ý p ë 2 Ť ý p ë 3 P - [R ø

$$\mathsf{Prop} : \mathsf{Type}$$ $\mathsf{Type} : \mathsf{Prop}$$\mathsf{Prop}$$\mathsf{Prop}$$\mathsf{Type}_1$$\mathsf{Type}_2$$\mathsf{Type}_3$ $$\begin{align*} \mathsf{Prop} &: \mathsf{Type}_1 \\ \mathsf{Type}_1 &: \mathsf{Type}_2 \\ \mathsf{Type}_2 &: \mathsf{Type}_3 \\ &\vdots \end{align*}$$ $\prod$必须解释当是命题或类型而是命题或类型时，如何形成。有四种组合：$\prod_{x : A} B(x)$$A$$B(x)$

1. $$\frac{A : \mathsf{Prop} \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Prop}} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Prop}}$$
2. $$\frac{A : \mathsf{Type}_i \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Prop}} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Prop}}$$
3. $$\frac{A : \mathsf{Prop} \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Type}_i} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Type}_i}$$
4. $$\frac{A : \mathsf{Type}_i \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Type}_j} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Type}_{\max(i,j)}}$$

最有趣的是第二种情况与第四种情况之间的区别。第四条规则说，如果在第个宇宙中，而在第个宇宙中，则乘积在第个宇宙中。但第二条规则告诉我们，是不是只是“一个在底部更多的宇宙”，因为在土地只要，无论有多大。这是强制性的，因为它允许我们定义元素$A$$i$$B(x)$$j$$\max(i,j)$$\mathsf{Prop}$$\prod_{x : A} B(x)$$\mathsf{Prop}$$B(x)$$A$$\mathsf{Prop}$通过量化本身。$\mathsf{Prop}$

一个具体的例子是 与 第一个产品存在于，但是第二个在（而不是在，即使我们要量化的元素也是如此）。特别是，这意味着的可能值之一是本身。

$$\prod_{A : \mathsf{Type}_1} A \to A$$ $$\prod_{A : \mathsf{Prop}} A \to A$$ $\mathsf{Type}_2$$\mathsf{Prop}$$\mathsf{Type}_1$$\mathsf{Type}_1$$A$$\prod_{A : \mathsf{Prop}} A \to A$