托菲利门的普遍性

关于量子托夫里门：

1. 它是古典通用的吗？如果是，为什么？
2. 它在量子上是普遍的，为什么？

Toffoli对于经典计算是通用的（如@Victor所示）。但是，Toffoli对于量子计算不是通用的（除非我们有像这样的疯狂东西）。$P = BQP$

为了在量子计算中具有通用性（在通常的定义下），门所生成的组必须在dense中密集。换句话说，给定任意和目标unit U，可以采用某种方法应用有限数量的量子门以获得s U '，使得| | U − U ' | | < ϵ。$\epsilon$$U$$U'$$||U - U'|| < \epsilon$

Toffoli本身显然不是这种定义下通用的，因为它总是需要依据各国的基础状态，从而无法实现的东西，需要例如。换句话说，它不能产生叠加。$|0\rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$

从您引用的维基百科文章中：

Toffoli门是通用的。这意味着对于任何布尔函数f（x1，x2，...，xm），都有一个由Toffoli门组成的电路，它取x1，x2，...，xm和一些额外的位设置为0或1并输出x1，x2，...，xm，f（x1，x2，...，xm）和一些额外的位（称为垃圾）。从本质上讲，这意味着可以使用Toffoli门来构建系统，该系统将以可逆方式执行任何所需的布尔函数计算。

简单来说，任何布尔函数都只能用托菲利门来构造。

布尔函数通常由“或”，“与”和“非”门构成，可以将其组合以形成任何布尔函数。众所周知，只有NOR门或NAND门才有可能。

Toffoli门可以总结为：

$\rm{Toffoli}(a, b, c) = \begin{cases} (a, b, ¬c) & \mbox{when }a=b=1 \\ (a, b, c) & \mbox{otherwise.}\end{cases}$

由于第一和第二输出始终等于第一和第二输入，因此我们可以不考虑它们。因此，我们有：

$\rm{Toffoli}'(a, b, c) = \begin{cases} ¬c & \mbox{when }a=b=1 \\ c & \mbox{otherwise.}\end{cases}$

这样，可以将“与非”门定义为：

$\operatorname{NAND}(a, b) = \rm{Toffoli}'(a, b, 1)$

由于“与非”门是通用的，并且“与非”门可以定义为Toffoli门，因此，Toffoli门是通用的。

通过直接构造AND和NOT门，还有另一种方法证明Toffoli是通用的：

$\operatorname{NOT}(x) = \rm{Toffoli}'(1, 1, x)$

$\operatorname{AND}(a, b) = \rm{Toffoli}'(a, b, 0)$

然后，我们可以使用De Morgan定律构造“或”门：

$\operatorname{OR}(a, b) = \operatorname{NOT}(\operatorname{AND}(\operatorname{NOT}(a), \operatorname{NOT}(b)) = \rm{Toffoli}'(1, 1, \rm{Toffoli}'(\rm{Toffoli}'(1, 1, a), \rm{Toffoli}'(1, 1, b), 0))$

编辑，因为问题已被编辑且其范围已更改：

首先，我不理解量子计算，因此，如果有问题，请添加注释。我做了一些研究，试图使这个答案完整，并以此结束：

Toffoli门是可逆的（但上面使用的Toffoli'不是）。这意味着使用它进行的任何计算都可以撤消。这是：

$(a, b, c) = \rm{Toffoli}(\rm{Toffoli}(a, b, c))$

这意味着对于任何三元组（a，b，c），如果应用了Toffoli两次，则原始输入将作为输出。

可逆性很重要，因为量子门必须是可逆的，因此，（经典的）Toffoli门可以用作量子门。

所证明这里，在德语栅极，所述Toffoli门是一个类似的方式定义的，但不是经典的栅极，它是一个quantical之一：

$\operatorname{Deutsch}(a, b, c) = |a,b,c\rangle \mapsto \begin{cases} i \cos(\theta) |a,b,c\rangle + \sin(\theta) |a,b,1-c\rangle & \mbox{for }a=b=1 \\ |a,b,c\rangle & \mbox{otherwise.}\end{cases}$

这样，Toffoli门是Deutsch门的一种特殊情况，其中：

$\rm{Toffoli}(a, b, c) = \operatorname{Deutsch}(\frac{\pi}{2})(a, b, c)$

$\frac{\pi}{2}$

如果我们将托夫里门与哈达玛门相结合，则可以获得通用量子Tgate集。这正是德国之门所做的。

有趣的参考可以在这里，这里和这里找到。显示Deutsch转换基础的可能有价值的参考应该在此处，但是该链接受密码保护。