没有自指的暂停问题

在停止问题中，我们感兴趣的是是否有图灵机可以判断给定的图灵机是否在给定的输入上停止。通常，假设存在这样的开始证明。然后，我们考虑将限制为本身，然后通过使用对角线参数的实例得出矛盾的情况。我很感兴趣，如果我们给出的保证，证明将如何发展？关于诺言，那在功能上等同于呢？中号我Ť 我中号我≠ 中号我≠ 中号“ 中号”$T$$M$$i$$T$$i$$M$$i \not = M$$i \not = M^\prime$$M^\prime$$M$

假设HALTS是一个TM，它以和对的形式读取其输入，其中是TM编码，而是该TM的任何输入。x M $M$$x$$M$$x$

您的问题是，如果我们假设HALTS解决了所有输入的停止问题，从而使得不是功能上等效于的TM的编码，那么会发生什么情况。X $\langle M,x \rangle$$x$$M$

我声称这意味着矛盾。我当场提出了这个建议，因此欢迎对我的证据提出任何批评。证明的思想是，我们使两个相互递归的TM而不是对自身进行对角化，它们在某些输入上的行为不同（因此在功能上不等效），但会引起矛盾。

假设和是两个相互递归的TM（也就是说，我们可以在的程序中模拟，打印等的描述，反之亦然）。请注意，我们可以从递归定理中得出相互递归的TM。D 2 D 2 D $D_1$$D_2$$D_2$$D_1$

定义和如下：在输入，如果（任意选择10），则接受并且循环。（因此，它们在功能上并不等效）。D 2 x | x | < 10 D 1 D $D_1$$D_2$$x$$|x| < 10$$D_1$$D_2$

给定输入的，定义以模拟HALTS上如果和暂停如果暂停或环环路。| x | ≥ 10 d 1 ⟨ d 2，X ⟩ d 2 d $x$$|x| \ge 10$$D_1$$\langle D_2, x \rangle$$D_2$$D_2$

给定输入的，定义以模拟HALTS上如果环如果暂停或停止环路。| x | ≥ 10 d 2 ⟨ d 1，X ⟩ d 1 d $x$$|x| \ge 10$$D_2$$\langle D_1, x \rangle$$D_1$$D_1$

然后注意，对于任何与，（x）停止或循环。如果在输入x上停止，则我们知道HALTS（，x）确定在输入x上停止。但是，在输入x上暂停表示HALTS（，x）循环。| x | ≥ 10 d 1 d 1 d 2 d 2 d 2 d $x$$|x| \ge 10$$D_1$$D_1$$D_2$$D_2$$D_2$$D_1$

如果输入上的循环，则矛盾类似。$D_1$$x$

除非是功能上等效于或的图灵机的编码，否则这是矛盾的，在这种情况下HALTS具有未定义的行为。但是，从大小大于所有字符串中任意选择。因此，仍然表明存在一种编码器，该编码器的尺寸大于10，其行为与和不同。我们可以轻松地构造这样的机器。QED。D 1 D 2 x 10 D 1 D $x$$D_1$$D_2$$x$$10$$D_1$$D_2$

有什么想法吗？

您仍未走出困境。你碰到了同样的问题，只是现在你给它一个不同的TM，作为输入，在那里你选择在功能上等同于（说你添加新的规则，以，使的开幕动作向右走一步，向左走一步，否则您将不会进行任何更改）。您仍然会遇到矛盾。您可以尝试消除所有与等效的TM ，但这是一个不确定的集合。中号”中号中号中号'$M'$$M'$$M$$M$$M'$$M$

更新。修复一个编码方案，其中表示该TM方案下的描述，并假设您有一个TM，，其中中号$\langle\,M\,\rangle$$M$$H$

• x 高x $H(\langle\,M\,\rangle, x)$当是计算与相同的部分函数的TM的编码时（即和在功能上等效）是未定义的。$x$$H$$x$$H$
• 对于所有其他输入，当且仅当暂停时，返回true 。M （x $H(\langle\,M\,\rangle, x)$$M(x)$

现在，通常的对角线化构造仍然导致矛盾。定义一个TM由$Q$

Q(x)=
  if H(<Q>, x) = false
    return true
  else
    loop forever

显然和在功能上是不等价的，因此我们可以让并发现在且仅当不停止时才停止，因此不可能有这样TM。H x = $Q$$H$Q （$x=\langle\,Q\,\rangle$$Q(\langle\,Q\,\rangle)$$H$