计算复杂度

中计算的复杂度是多少？$n^{n^2},\;n \in \mathbb{N}$

通过使用快速傅立叶变换，可以在时间（其中波浪号表示我们忽略了多对数因子）上完成位数字的乘法。通过重复平方，我们可以使用乘法计算，并且每个乘法都不会包含大于，后者大约具有位。因此，所需的总时间为。$k$$\tilde{O}(k)$$n^{n^2}$$O(\log n)$$n^{n^2}$$n^2 \log_2 n$$\tilde{O}(n^2(\log n)^2)=\tilde{O}(n^2)$

根据评论进行编辑，可以 将计算的时间分解为计算所需的时间和执行。我假设用教科书方法将位数字乘以位数字需要精确的时间; 添加等是固定时间。结果，计算需要时间。$f(n) = n^{n^2}$$f_1(n) = n^2$$n ^ {f_1(n)}$$m$$n$$mn$$n^2$$\log_2^2 (n)$

假设我们使用二进制幂计算。二进制幂运算在计算两种运算：对当前乘积进行平方运算，然后根据的二进制扩展中的当前位是0还是1 ，将当前乘积乘以。 ，是的幂，因此二进制乘幂会反复对当前乘积求平方，直到得到答案为止。请注意，具有位，因此这样的平方是。我们将在下面进一步分析这种情况。$f(n)$$f(n)$$n$$n^2$$n^2$$n^2$$m'=\lceil 2 \log_2(n) \rceil$$m= m'-1$

第一次平方花费时间，从而产生位乘积。第二个平方采用两个位数，并在时间内运行，从而产生位乘积。继续，第步骤花费次，并输出位乘积。该过程在第步停止；结果，这需要时间$t_1=\log_2^2(n)$$o_1=2 \log_2(n)$$o_1$$t_2=o_1^2$$o_2=2o_1$$i$$t_i = 4^{i-1}\log^2_2 n$$o_i=2^{i} \log_2 (n)$$m$

$T _{exp} =\sum _{[1..m]} t_i = \log_2 ^2 (n) \sum_{[1..m]} 4^i = \frac{4^m -1} {3} \log_2 ^2 n$。

如果算上初始平方的成本，我们发现我们最多需要时间。

${T_{exp} + \log_2^2{n}}$

注意

• 我在计算中省略了一些楼层和天花板，希望它们不会对答案产生实质性影响。
• 我特意省略了基于的分析，而只提出了严格的精确上限。 $O$
• 上述推理也清楚地说明了为什么我之前的分析存在缺陷。该在一个快速和宽松的方式使用符号，它方便省略常数，这样，例如，奇迹般地变成了。 $O$$\sum t_i$$O(\log n)$
• 始终可以通过FFT和其他方法来加快乘法速度。