枚举一定大小的所有非同构图

我想枚举所有大小为无向图，但是我只需要每个同构类的一个实例。换句话说，我想枚举个顶点上的所有非同构（无向）图。我怎样才能做到这一点？$n$$n$

更准确地说，我想要一种算法，该算法将生成具有以下特性的无向图的序列：对于个顶点上的每个无向图，都存在一个索引，使得与同构。我希望该算法尽可能高效。换句话说，我关心的指标是生成和迭代此图列表的运行时间。第二个目标是，如果算法不太复杂而无法实现，那就太好了。$G_1,G_2,\dots,G_k$$G$$n$$i$$G$$G_i$

请注意，每个同构类至少需要有一个图，但是如果该算法产生多个实例，则可以。特别是，如果输出序列包含两个同构图，则可以，只要这可以帮助您更轻松地找到这样的算法或启用更有效的算法，只要它覆盖所有可能的图即可。

我的应用程序如下：我有一个程序要在大小为所有图形上进行测试。我知道如果两个图是同构的，则我的程序将在两个同构上表现相同（对两个图都正确，或者对两个图都不正确），因此足以枚举每个同构类的至少一个代表，然后对其进行测试。对这些输入进行编程。在我的应用程序中，很小。$n$$n$

我考虑过一些候选算法：

• 我可以列举所有可能的邻接矩阵，即所有对称的 0或1矩阵，对角线都为0。但是，这需要枚举矩阵。这些矩阵中有许多将表示同构图，因此这似乎在浪费大量精力。$n\times n$$2^{n(n-1)/2}$

• 我可以列举所有可能的邻接矩阵，并针对每个矩阵测试它与我先前输出的任何图是否同构；如果它与之前输出的内容不是同构的，则将其输出。这将大大缩短输出列表，但是仍然需要至少个计算步骤（即使我们假设图形同构检查是超快的），因此通过我的指标。$2^{n(n-1)/2}$

• 可以枚举邻接矩阵的子集。特别是，如果是个顶点，则可以不失一般性地假设顶点的排列方式为。换句话说，每个图都是同构的，其中顶点以非降序排列。因此，仅枚举具有此属性的邻接矩阵就足够了。我不知道这样的邻接到底有多少矩阵也有，但它是许多不到他们可以用比少很多被列举$G$$n$$V=\{v_1,\dots,v_n\}$$\deg v_1 \le \deg v_2 \le \cdots \le \deg v_n$$2^{n(n-1)/2}$$2^{n(n-1)/2}$计算步骤。但是，这仍然留下了很多冗余：许多同构类仍然会被覆盖很多次，因此我怀疑这是最优的。

我们可以做得更好吗？如果我理解正确，大约是非同构图的等价类。我们能否找到一种运行时间比上述算法更好的算法？我们可以接近下界？我主要关心小（例如或左右；足够小以至于可以合理地运行这样的算法来完成），而不是大的渐近性。$2^{n(n-1)/2}/n!$$\sim 2^{n(n-1)/2}/n!$$n$$n=5$$n=8$$n$

相关：构建不等价的二元矩阵（尽管不幸的是，似乎没有收到有效的答案）。

枚举小顶点数量的所有非同构图的最简单方法可能是从Brendan McKay的收藏集中下载它们。枚举算法在McKay [1]的论文中进行了描述，并通过所有可能的方式扩展大小为n-1的非同构异构体并检查新顶点是否为正则来工作。它是按照gengMcKay的图同构检查器实现的nauty。

[1]：BD McKay，“标记枚举技术的应用”，Consumus Numerantium，40（1983）207-221。

我建议对您的第三个想法进行改进：逐行填充邻接矩阵，并跟踪顶点的度和邻接度与先前填充的顶点等效的顶点。因此，最初，等价类将由具有相同程度的所有节点组成。
当新填充的顶点仅与某些等效节点相邻时，任何选择都将导致来自相同同构类的表示。因此，我们仅考虑赋值，即当前填充的顶点与具有最高编号的等价顶点相邻（并在其余过程中将等价类分为两个）。

我认为（但尚未尝试证明）这种方法涵盖了所有同构。 对于较大的图，我们可能基于以下事实而得到同构：在具有边和（且没有其他边的子图中，我们有两个等效的顶点组，但是不能通过该方法。（它当然可以扩展，但是如果您仅针对，我怀疑这样做是否值得。）$n<6$
$(1,2)$$(3,4)$$n=6$

该算法的一个简单的实现会陷入死胡同，结果证明无法根据给定的度数集和先前的分配来填充邻接矩阵。尽早检测/过滤这些可能值得一些努力。一些想法：

• 如果度数之和是奇数，则它们将永远不会形成图
• 填充需要立即连接到所有/所有其余顶点的顶点的条目。

这些论文可能很有趣。

“关于图形的简洁表示”，Gyorgy Turan，离散应用数学，第8卷，第3期，1984年7月，第289-294页 http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0166218X84901264

“一般的未标记图的简洁表示”，Moni Naor，离散应用数学，第28卷，第3期，1990年9月，第303-307页 http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0166218X9090011Z

它们提供了用于对顶点标记的图进行编码的编码和解码功能，以便当且仅当一个因置换另一个顶点的顶点标记而导致时，两个这样的图才会映射到同一代码字。

此外，证明了编码和解码功能是有效的。

第一篇论文涉及平面图。在第二篇文章中，消除了平面度限制。

编辑：本文可能也相关：

拟多项式时间中的图同构，芝加哥大学Laszlo Babai，arXiv上的预印本，2015年12月9日， http：//arxiv.org/pdf/1512.03547v1.pdf

巴拜宣布他的研究结果成为了新闻：https : //www.sciencenews.org/article/new-algorithm-cracks-graph-problem

但是，也许我错把OP问题与这三篇论文混淆了吗？OP希望枚举非同构图，但是拥有确定两个图何时为同构图的有效方法可能仍会有所帮助。

九十年代初有一篇论文专门讨论了这个问题：

Leslie Goldberg 列出未标记图的高效算法。

该方法可确保每个同构类的一个代表都被精确枚举，并且在两个后续图的生成之间仅存在多项式延迟。

这里提出的方法不允许这样的延迟保证：在发现一个新的同构类之前，可能有成倍的（）邻接矩阵被枚举，并且发现它们与某些先前枚举的图是同构的。$n$