二部图的最大独立集

我正在尝试寻找Biparite图的最大独立集。

在“ 1998年5月13日-华盛顿大学-CSE 521-网络流的应用”的一些注释中，我发现以下内容：

问题：

给定一个二分图$G = (U,V,E)$，找到一组独立的$U' \cup V'$这是尽可能大的，在那里$U' \subseteq U$和$V' \subseteq V$。如果集合的元素之间没有$E$边，则集合是独立的。

解：

构造上的顶点的流图$U \cup V \cup \{s,t\}$。对于每个边缘$(u,v) \in E$有一个无限容量边缘从$u$到 $v$。对于每个$u \in U$，存在从单元容量边缘$s$到$u$，并且对于每个$v \in V$，存在从单元容量边缘$v$到 $t$。

查找有限容量切口$(S,T)$，与$s \in S$和$t \in T$。让 $U' = U \cap S$和$V' = V \cap T$。该组$U' \cup V'$，因为没有无限容量的边缘交叉的切断是独立的。切口的大小是$|U - U'| + |V - V'| = |U| + |V| - |U' \cup V'|$。为了使独立集尽可能大，我们使切面尽可能小。

因此，让我们将其作为图表：

A - B - C
    |
D - E - F

我们可以将其拆分为二部图，如下所示 $(U,V)=(\{A,C,E\},\{B,D,F\})$

通过暴力搜索，我们可以看到唯一的最大独立集是$A,C,D,F$。让我们尝试解决上面的解决方案：

因此，构建的流网络邻接矩阵为：

$$\begin{matrix} & s & t & A & B & C & D & E & F \\ s & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ t & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ A & 1 & 0 & 0 & \infty & 0 & 0 & 0 & 0 \\ B & 0 & 1 & \infty & 0 & \infty & 0 & \infty & 0 \\ C & 1 & 0 & 0 & \infty & 0 & 0 & 0 & 0 \\ D & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \infty & 0 \\ E & 1 & 0 & 0 & \infty & 0 & \infty & 0 & \infty \\ F & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \infty & 0 \\ \end{matrix}$$

下面是我在哪里卡住，最小的有限容量削减我看到的是一个简单的一个：$(S,T) =(\{s\},\{t,A,B,C,D,E,F\})$，容量3。

使用此切口会导致以下问题的解决方案不正确：

$$U' = U \cap S = \{\}$$ $$V' = V \cap T = \{B,D,F\}$$ $$U' \cup V' = \{B,D,F\}$$

而我们预期$U' \cup V' = \{A,C,D,F\}$？有人可以发现我在推理/工作中出了错吗？

最大独立集的补码是最小顶点覆盖率。

要在二部图中找到最小的顶点覆盖，请参阅柯尼希定理。

正如您通过反例所演示的，给出的解决方案显然是不正确的。注意，曲线U + V是无限容量边的连接分量。因此，每个有效切割都必须在同一侧包含所有A，B，C，D，E，F。

试图追溯解决方案 的出处：http : //www.cs.washington.edu/education/courses/cse521/01sp/flownotes.pdf引用了Ahuja，Magnanti和Orlin的Network Flow 解决 了一些问题。这本书没有版权，可以从http://archive.org/details/networkflows00ahuj下载，但它似乎没有包含此问题和解决方案（搜索“ bipartite”的每一次出现）。

请注意，解决方案的说明段落并未显示其构造的图的最小割线对应于最大独立集。这只能说明一种方式来获得一个独立的一套。

但是，您可以看到该算法正在尝试执行的操作。这是实际最大独立集对应于其s，t cut的含义：

强调破坏算法的无限容量优势。

我不确定如何将算法修复为预期的方法。如果无限边的成本倒退（即它从S到T，但从t侧到s侧交叉），则成本应该为零吗？但是，仍然容易找到具有这种非线性的最小切割/最大流量吗？同样，考虑从@Jukka Suomela的解决方案到问题算法的桥梁的方法，我们要从最大匹配到最小顶点覆盖是很困难的：找到最大匹配可以通过最大流来完成类算法，如何使用类流算法从中恢复最小顶点覆盖？如前所述这里，找到最大匹配后，U和V之间的边将被定向以找到最小的顶点覆盖。因此，同样，这并不表明最小切割/最大流量的简单应用即可解决此问题。

$S$$T$$S$

削减应基于实际流量，而非能力。由于来自s的流量是有限的，因此任何{S，T}切割都将是有限的。其余内容已在上面说明。

$U$$V$

$G'$，您的最低限度为2，这将为您提供答案 $\{A,C,D,F\}$。