可证明需要二次时间的问题

我正在寻找输入的下限为 $\Omega(|x|^2$ ）的问题的示例。 $x$

该问题需要具有以下属性：

$\Omega(n^2)$ 任何算法的运行时证明-第一优先级是具有尽可能简单的下限参数。
$O(n^2)$ 算法（如果可能）也很简单。
输出大小为（或更小）。显然，任何需要加长输出的问题都至少需要相似的运行时间，但这不是我想要的。注意，任何决策问题都适合于此。 $O(n)$ $\Omega(n^2)$
（如果可能）“自然”问题。如果没有正式定义，则任何CS毕业生都会认识到的问题是更可取的。

最近有人问我这样的问题，但无法提出一个简单的问题。我想到的第一个问题是，它被构想为运行时问题。这还不够简单，而且，最近证明这种变形是错误的：o。 $3SUM$ $\Omega(n^2)$

谈到一个非常不自然的问题，我相信这个问题是输入确定性TM并输入作为输入，并在之后输出磁带头的位置的问题。在上运行时的步骤可能会回答问题。 $\langle M \rangle,x$ $(|M|+|x|)^2$ $x$

如果您绝对需要，请同意我们正在使用单磁带TM模型，尽管我更喜欢其运行时间与确切模型无关的问题（只要它是合理的模型即可）。

因此，我们能否找到一个运行时间为的简单（证明），自然（众所周知）的问题？ $\Theta(n^2)$

— RB
source

我认为“给出自然数，，计算 ”是合格的。另外，请注意此问题。

x

$x$

y

$y$

x + y

$x+y$

— 拉斐尔

我们知道如何在多带图灵机上证明超线性下界的唯一方法是对角化。对于单带图灵机，使用交叉序列可能会更好一些，但是除非限制空间，否则不超过

。

n^{2}

$n^2$

— Yuval Filmus 2014年

参见这里的另一个相关问题。输入反转似乎是一个不错的选择。

— 拉斐尔

我认为您无法解决决策问题，因为发现NP的最佳下限是O（n）。

— Albert Hendriks 2015年

感谢您的评论@AlbertHendriks。能否请您分享对源/调查的引用，声称对NP中任何问题的最著名下限是

？

Ω (n)

$\Omega(n)$

— RB

Answers:

要找到令人羡慕的切蛋糕，需要查询。但是，由于计算模型与图灵机不同，因此这不能直接回答您的问题。 $\Omega(n^2)$

顺便说一句，当前针对该问题的最快已知算法需要查询，因此与下限之间存在巨大差距-可能是计算机科学中最大的差距之一。 $n^{n^{n^{n^{n^{n}}}}}$

— 埃雷尔·西格尔·哈利维（Erel Segal-Halevi）
source

就像拉斐尔（Raphael）提供的链接一样，彼得表示，在香草单卷带TM上，“输入反转”需要 $\Theta(n^2)$ 时间。对于决策问题，语言

L = {x 0^{| x |} x ∣ x \in {0, 1}^{*}}

$L = \{x0^{|x|}x \mid x \in \{0,1\}^\ast \}$ 也可证明需要

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$ 的时间来计算。为此，请使用Peter的通信复杂度参数以及

需要的经典结果

E Q_{n}

$EQ_n$

Θ (n)

$\Theta(n)$ 通信的

位，以显示

L

$L$ 的二次下界。类似方法适用于更自然的一个

L = {x x ∣ x \in {0, 1}^{*}}

$L = \{xx \mid x \in \{0,1\}^\ast \}$ 。

顺便说一句，值得一提的是，据我所知，尤瓦尔（Yuval）提到的“交叉序列方法”在数学上等效于（或可能是信息量）通信复杂度。

对于另一个没有直接回答您问题的候选人，赖安·威廉姆斯（Ryan Williams）证明了不能在时间和 RAM上同时存在空间的情况下确定 $\mathsf{SAT}$ 而恒定似乎很神奇，是来自Fortnow最初的想法，是巧妙的，但不是那么参与其中。请参阅Barak和Arora教科书中的第101页，以获取有关该想法的说明。 $O(n^{2 \cos(\pi/7)})$ $n^{o(1)}$ $2 \cos(\pi/7) \approx 1.8$

— 利文斯
source