证明{xy ∣ | x | = | y |，x≠y}是上下文无关的

我记得遇到过以下有关语言的问题，该语言原本是上下文无关的，但我找不到事实的证明。我是否可能忘记了这个问题？

无论如何，这是一个问题：

证明语言是上下文无关的。$L = \{xy \mid |x| = |y|, x\neq y\}$

声明：是上下文无关的。$L$

证明思想：上半部分和下半部分至少要有一个区别；我们给出一种语法，以确保生成一个语法，而其余语法则保持任意性。

证明：为简单起见，假定二进制字母。证明很容易扩展到其他尺寸。考虑语法：$\Sigma = \{a,b\}$$G$

$\qquad\begin{align} S &\to AB \mid BA \\ A &\to a \mid aAa \mid aAb \mid bAa \mid bAb \\ B &\to b \mid aBa \mid aBb \mid bBa \mid bBb \end{align}$

很明显，它会产生

$\qquad \mathcal{L}(G) = \{ \underbrace{w_1}_k x \underbrace{w_2v_1}_{k+l}y\underbrace{v_2}_l \mid |w_1|=|w_2|=k, |v_1|=|v_2|=l, x\neq y \} \subseteq \Sigma^*;$

可疑者可能对和执行嵌套归纳，并区分成对。现在，和通勤（直觉上，和可以交换符号，因为它们都包含独立于单词其余部分选择的符号）。因此，和（在各自的一半中）具有相同的位置，这意味着因为对其语言没有其他限制。$k$$l$$(x,y)$$w_2$$v_1$$w_2$$v_1$$x$$y$$\mathcal{L}(G) = L$$G$

感兴趣的读者可能会遇到两个后续问题：

练习1：为拿出PDA ！$L$

练习2：呢？$\{xyz \mid |x|=|y|=|z|, x\neq y \lor y \neq z \lor x \neq z\}$