计算反转对

分而治之的经典应用是解决以下问题：

给定不同的可比较元素的数组，计算数组中的反转对的数量：对，使得和。 $a[1\dots n]$ $(i,j)$ $a[i] \gt a[j]$ $i \lt j$

一种解决方法是进行合并排序，但还要计算子问题中反转对的数量。在合并步骤中，我们计算跨越（两个）子问题的反转对的数量，并将其添加到子问题的计数中。

虽然这很好，并且给出了时间算法，但是却弄乱了数组。 $O(n\log n)$

如果我们还有其他限制，即数组是只读的，则可以制作一个副本并处理该副本，或者使用其他数据结构（例如订单统计平衡二叉树）进行计数，两者都使用空间。 $\Theta(n)$

当前的问题是在不影响运行时间的情况下尝试改善空间。即

是否存在时间算法来计算反转对的数量，该算法适用于只读数组并使用亚线性（即）空间？ $O(n\log n)$ $o(n)$

假设一个成本均一的RAM模型，并且元素占用空间，并且它们之间的比较为。 $O(1)$ $O(1)$

参考会做，但是一个解释会更好:-)

我尝试在网上搜索，但找不到任何肯定/否定答案。我想这只是出于好奇。

algorithms reference-request arrays

— Aryabhata
source

Chan和Pătraşcu给出了一个

时间算法，但据我从略读中可以看出，它们需要

空间。

o (n \log n)

$o(n \log n)$

Ω (n)

$\Omega(n)$

— 拉斐尔

此外，Ajtai等。证明任何（精确的）

时间流算法都需要

空间。不过，似乎有些近似符合您的标准。

O (n)

$O(n)$

Ω (n)

$\Omega(n)$

— 拉斐尔

@Raphael：谢谢！如果没有答案，那么您的评论将是迄今为止最好的答案。

— Aryabhata

顺便说一句，我对Ajtai等人的下界有些困惑。定理8说“任何算法”，但是我的下限似乎反对单次精确流算法，这是一个非常受限制的模型

— Sasho Nikolov 2012年

@SashoNikolov：我认为他们在全球范围内将模型设置为流算法，因此“ any”将仅限于这些算法。我希望我的推论-任何精确的

时间算法-是正确的，也就是说，任何线性时间算法都可以表示为具有多次遍历的流式算法。我们会看到的。

O (n)

$O(n)$

— 拉斐尔

这是拉斐尔的答案：

$o(n\log n)$ $\Omega(n)$ $O(n)$ $\Omega(n)$

— Yuval Filmus
source

感谢您做出答复。我会再给它一些时间。流量似乎正在增加。

— Aryabhata 2012年