Y组合器是否与Curry-Howard对应矛盾？

Y组合器的类型为。根据库里·霍华德 Curry-Howard）的对应关系，因为类型被居住，所以它必须对应于一个真定理。但是始终为真，因此似乎Y组合器的类型对应于定理，但并不总是正确的。怎么会这样？$(a \rightarrow a) \rightarrow a$$(a \rightarrow a) \rightarrow a$$a \rightarrow a$$a$

原始的Curry-Howard对应关系是直觉命题逻辑与简单类型的lambda演算之间的同构。

当然，还有其他类似Curry-Howard的同构。菲尔·沃德勒（Phil Wadler）著名地指出，双桶名“ Curry-Howard”预言了其他双桶名，例如“辛德利·米尔纳”和“吉拉德·雷诺兹”。如果“马丁·洛夫”是其中之一，那将很有趣，但事实并非如此。但是我离题了。

Y组合器与这一点并不矛盾，因为一个关键原因：它在简单类型的lambda演算中无法表达。

实际上，这就是重点。Haskell Curry在无类型的lambda演算中发现了定点组合器，并用它来证明无类型的lambda演算不是声音演绎系统。

有趣的是，Y的类型与逻辑悖论相对应，而逻辑悖论并不像它应该的那样广为人知，被称为库里悖论。考虑一下这句话：

如果这句话是对的，那么圣诞老人就存在。

假设句子是正确的。然后，很明显，圣诞老人会存在。但这恰恰是该句子所说的，因此该句子是正确的。因此，圣诞老人存在。QED

Curry-Howard将类型系统与逻辑推导系统联系起来。除其他外，它映射：

• 证明程序
• 程序评估以证明转换
• 真正命题的人种
• 从类型系统到逻辑推理系统

$a \to b$$a$$b$$Y (\lambda x. x) \to Y (\lambda x.M)$

Curry-Howard对应关系就是这样：对应关系。本身并不能说某些定理是正确的。它说可打字性/可证明性是从一侧传递到另一侧的。

Curry-Howard对应关系可用作许多类型系统的证明工具：简单类型的lambda演算，系统F，构造演算等。所有这些类型的系统都具有相应逻辑一致的属性（如果常用数学一致） ）。它们还具有不允许任意递归的特性。Curry-Howard对应关系表明这两个属性是相关的。

Curry-Howard仍然适用于非终止型结石和不一致的推导系统。那里不是特别有用。