使用二进制索引树进行范围更新+范围查询

我试图了解如何修改二进制索引树（fenwick树）以处理范围查询和范围更新。

我发现以下来源：

http://kartikkukreja.wordpress.com/2013/12/02/range-updates-with-bit-fenwick-tree/ http://programmingcontests.quora.com/Tutorial-Range-Updates-in-Fenwick-Tree http ：//apps.topcoder.com/forums/？module = Thread＆threadID = 756271＆start = 0＆mc = 4＃1579597

但是即使通读了所有它们，我也无法理解第二个二进制索引树的目的或作用。

有人可以向我解释一下如何修改二进制索引树来处理这些吗？

假设您有一个空数组：

0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  (array)
0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  (cumulative sums)

您想将范围更新为+5到[3..7]：

0  0  0  5  5  5  5  5  0  0  (array)
0  0  0  5 10 15 20 25 25 25  (desired cumulative sums)

如何使用2个二值索引树存储所需的累积总和？

诀窍是使用两个二进制索引树BIT1和BIT2，它们的累加总和是根据它们的内容来计算的。在此示例中，这是我们在两棵树中存储的内容：

0   0   0   5   5   5   5   5   0   0  (BIT1)
0   0   0  10  10  10  10  10 -25 -25  (BIT2)

要查找sum[i]，您可以计算出以下内容：

sum[i] = BIT1[i] * i - BIT2[i]

例如：

sum[2] = 0*2 - 0 = 0
sum[3] = 5*3 - 10 = 5
sum[4] = 5*4 - 10 = 10
...
sum[7] = 5*7 - 10 = 25
sum[8] = 0*8 - (-25) = 25
sum[9] = 0*9 - (-25) = 25

为了实现先前范围更新的期望BIT1和BIT2值，我们进行了3次范围更新：

• 我们需要将BIT1的范围更新为+5到索引3..7。

• 我们需要将BIT2的范围更新为+10到索引3..7。

• 我们需要将BIT2的范围更新为-25到索引8..9。

现在让我们再进行一次转换。实际上，我们没有存储上面显示的BIT1和BIT2的值，而是存储了它们的累加和。这使我们可以通过对累积总和进行4次更新来进行上述3次范围更新：

BIT1sum[3] += 5
BIT1sum[8] -= 5
BIT2sum[3] += 10
BIT2sum[8] -= 35

通常，将值v添加到range [i..j]的算法为：

BIT1sum[i]   += v
BIT1sum[j+1] -= v
BIT2sum[i]   += v * (i-1)
BIT2sum[j+1] -= v * j

其中+ =和-=语法仅表示用该索引处的正值或负值更新BIT累积和数据结构。请注意，在更新索引处的BIT累积总和时，它将隐式影响该索引右边的所有索引。例如：

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (original)

BITsum[3] += 5

0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 (after updating [3])

BITsum[8] -= 5

0 0 0 5 5 5 5 5 0 0 (after updating [8])

$O(\log n)$