在动态图上维护连接的组件信息的最有效的算法和数据结构是什么？

假设我有一个无向的有限稀疏图，并且需要能够有效地运行以下查询：

$IsConnected(N_1, N_2)$ - 如果在和之间存在路径，则返回，否则返回 $T$ $N_1$ $N_2$ $F$
$ConnectedNodes(N)$ -返回从可访问的节点集 $N$

通过预先计算图形的连接组件，可以轻松完成此操作。这两个查询都可以在时间中运行。 $O(1)$

如果还需要能够任意添加边 -那么我可以将组件存储在不相交的数据结构中。每当添加一条边时，如果它连接了不同组件中的两个节点，我将合并这些组件。这会将成本增加到，将成本增加到和（也可能是）。 $AddEdge(N_1, N_2)$ $O(1)$ $AddEdge$ $O(InverseAckermann(|Nodes|))$ $IsConnected$ $ConnectedNodes$ $O(1)$

如果我还需要能够任意删除边缘，那么处理这种情况的最佳数据结构是什么？是已知的吗？总而言之，它应该有效地支持以下操作：

$IsConnected(N_1, N_2)$ -返回如果存在之间的路径和，否则。 $T$ $N_1$ $N_2$ $F$
$ConnectedNodes(N)$ -返回可从访问的节点集。 $N$
$AddEdge(N_1, N_2)$ -在两个节点之间添加一条边。请注意，以前可能不存在，或两者都不存在。 $N_1$ $N_2$
$RemoveEdge(N_1, N_2)$ -删除两个节点之间的现有边缘。

（我从游戏开发的角度对此感兴趣-这个问题似乎在很多情况下都会发生。也许玩家可以建造电力线，我们需要知道发电机是否已连接到建筑物。也许玩家可以锁定并打开门，我们需要知道敌人是否可以到达玩家。但这是一个非常普遍的问题，因此我将其表述为

— 用户名
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C o n n e c t e d N o d e s

$ConnectedNodes$ 不可能在运行，因为如果它返回节点的列表，则需要时间。使用BFS 实现是最佳选择，因此潜在的数据结构仅需要支持IsConnected，AddEdge和RemoveEdge。这似乎是有关你的问题：stackoverflow.com/questions/7241151/...

O (1)

$O(1)$

n

$n$

Ω (n)

$\Omega(n)$

C o n n e c t e d N o d e s

$ConnectedNodes$

— 汤姆·范德Zanden

@TomvanderZanden返回一个已经建立的集合（在编程中，一个指针或引用）是 ...尽管的用户可以做的事情并不多，但是没有。

O (1)

$O(1)$

C o n n e c t e d N o d e s

$ConnectedNodes$

O (1)

$O(1)$

I s C o n n e c t e d

$IsConnected$

— user253751

这个问题被称为动态连接，它是理论计算机科学界的一个活跃的研究领域。仍然有一些重要的问题在这里。

为了弄清楚术语，您需要完全动态的连接， 因为您要添加和删除边。Holm，de Lichtenberg和Thorup（J.ACM 2001）的结果是获得更新时间和查询时间。据我了解，这似乎是可以实现的。简而言之，数据结构保持了生成树的层次结构-并且树中的动态连接更容易覆盖。我可以推荐Erik D. Demaine的笔记，以得到很好的解释，请参阅此处的视频。埃里克（Erik）的笔记还包含其他相关结果的指针。注意：所有这些结果均为理论结果。 $O(\log^2 n)$ $O(\log n / \log\log n)$

这些数据结构本身可能不提供ConnectedNodes查询，但是很容易实现。只需维护图形（作为双重连接的边缘列表）作为附加的数据结构，然后进行深度优先搜索以获取可以从某个节点到达的节点。

— 舒尔茨
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