并非所有的红黑树都是平衡的？

直观地，“平衡树”应该是每个节点的左右子树必须具有“大约相同”数目的节点的树。

当然，当我们谈论红黑树*（请参阅最后的定义）时，实际上是指它们在高度上是平衡的，从某种意义上说，它们是平衡的。

假设我们尝试将上述直觉形式化如下：

定义：二叉树被称为$\mu$ -balanced，具有$0 \le \mu \leq \frac{1}{2}$，如果对于每个节点，不等式$N$

$$\mu \le \frac{|N_L| + 1}{|N| + 1} \le 1 - \mu$$

对于每个，都有一个节点，上面的语句失败。是和的左子树中的节点数。是树下以为根（包括根）的节点数。$\mu' \gt \mu$$|N_L|$$N$$|N|$$N$

我相信，在有关此主题的一些文献中，这些树被称为重量平衡树。

可以证明，如果具有节点的二叉树是平衡的（对于常数），那么树的高度是，因此保持了很好的搜索属性。$n$$\mu$$\mu \gt 0$$\mathcal{O}(\log n)$

所以问题是：

是否有一些使每个足够大的红黑树达到平衡？$\mu \gt 0$$\mu$

我们使用的Red-Black树的定义（来自Cormen等人的Introduction to Algorithms）：

二进制搜索树，其中每个节点的颜色为红色或黑色，

• 根是黑色的
• 所有NULL节点均为黑色
• 如果节点为红色，则其两个子节点均为黑色。
• 对于每个节点，从该节点到后代NULL节点的所有路径都具有相同数量的黑色节点。

注意：在上面的 balanced 的定义中，我们不计算NULL节点。（尽管我相信这是否重要）。$\mu$

权利要求：红黑树可以是任意非$\mu$ -balanced。

证明思想：对于每个根叶子路径上给定数目的$k$个黑色节点，在右子树中填充尽可能多的节点，在左子树中填充尽可能少的节点。

证明：定义一个红黑树序列$T_k$，以便$T_k$在从根到任何（虚拟）叶的每条路径上都有$k$黑节点。限定$T_k = B(L_k, R_k)$与

• $R_k$高度完整的树$2k - 1$彩色红，别人黑的第一，第三，......水平，
• $L_k$是高度为$k-1$的完整树，所有节点都涂成黑色。

显然，所有$T_k$都是红黑树。

例如，这些分别是$T_1$，$T_2$和$T_3$：

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现在让我们验证右侧是视觉印象巨大相比左侧。我不会数虚拟的树叶；它们不会影响结果。

$T_k$的左子树是完整的，并且始终具有高度$k-1$，因此包含$2^k - 1$节点。右子树，在另一方面，是完整的，并且具有高度$2k - 1$正是如此含有$2^{2k}-1$节点。现在根的$\mu$ balance值为

$\qquad \displaystyle \frac{2^k}{2^k + 2^{2k}} = \frac{1}{1 + 2^k} \underset{k\to\infty}{\to} 0$

$\mu > 0$

不。 考虑具有以下特殊结构的红黑树。

• $d$
• $2d$

$2^{2d+1}-1$$2^{d+1}-1$