不同子句的不同变量

在解析定理证明中，通常假设不同子句中的变量是不同的。这不是自动发生的事情。它需要大量额外的代码和计算才能实现。鉴于此，我正在寻找一个测试用例。

问题是，到目前为止，在我已经尝试过的所有测试用例中，它没有区别。大概只有在异常情况下才重要。正如Wikipedia所说，“不同子句中的变量是不同的...现在，将第一子句中的Q（X）与第二子句中的Q（Y）统一意味着X和Y始终成为相同的变量。”

如果不同的子句使用相同的变量，是否有任何已知的测试用例会给出错误的答案？

logic automated-theorem-proving

— 华莱士
source

编辑：我找到了一个更好的例子。请考虑以下条款：显然，这组子句是矛盾的。但是如果不重命名变量，则唯一可能的解析度是并且不可能再有解析度-所有这些都导致将替换为，这是不可能的。

\begin{aligned} \neg P （ X ） \lor P （ F （ X ） ） \\ P （ X ） \\ \neg P （ F （ F （ X ） ） ） \end{aligned}

$\begin{align} & \lnot P(x) \lor P(f(x)) \\ & P(x) \\ & \lnot P(f(f(x)))\\ \end{align}$

P (f (x))

$P(f(x))$

f (x)

$f(x)$

x

$x$

编辑：考虑条款的含义。每个子句都被隐式地普遍量化。因此，其变量的含义并不固定。现在假设您有两个子句都包含。如果不重命名进行分辨率在其中的一个，然后添加一个含义，它没有：你说手段在这两个条款一样的东西，这是不正确的。如果您的子句中没有不同的变量，那么解析将给您太弱的结论。 $x$ $x$ $x$ $x$

（原始答案。）例如，让我们有4个子句：

$A\lor B(x)$
$\lnot A\lor C(x)$
$\lnot B(c)$
$\lnot C(d)$

其中是变量，而常数。如果我们对前两个执行解析而不重命名，则将得到。我们可以继续使用来获得但是现在我们无法使用来解决它。 $x, y$ $c, d$ $x$ $B(x)\lor C(x)$ $\lnot B(c)$ $C(c)$ $\lnot C(d)$

另一方面，如果在第二个变量中将重命名为，以获得不相交的变量集，则将从第一个解析步骤中得到，并且可以使用派生一个空子句和。 $x$ $y$ $B(x)\lor C(y)$ $\lnot B(c)$ $\lnot B(d)$

— 彼得·普德拉克
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当我在证明者中尝试使用禁用的不同变量来尝试此操作时，它将使用解析以给出，类似地获得并因此获得空子句，因此最终结果是相同的。我想念什么吗？

B (x)

$B(x)$

\neg B (c)

$\lnot B(c)$

A

$A$

\neg A

$\lnot A$

— rwallace 2012年

@rwallace没有唯一变量并不意味着您不能派生空子句，只是方法不完整。如果始终重命名变量，则选择子句的顺序无关紧要，如果原始集不令人满意-方法已完成，则将始终派生空子句。但是，如果您不重命名变量，那么（如示例所示）顺序突然变得很重要-某些派生序列将找不到空子句。并且，证明者不能事先“告诉”哪个推导序列是正确的。

— PetrPudlák2012年

但是不是不是一个完整的方法最终必须尝试所有可能的派生方法（除非它首先找到空子句）？为确保不能保证它会尝试我在提到的变量之前提到的推导，但是当您提到的变量由于缺少独特的变量而失败时，我提到的变量仍然是开放的，因此必须返回完整的方法并尝试那些早晚？

— rwallace 2012年

您关于摘要中子句含义的附录是有道理的，但在我看来，如果是这样，那么应该可以找到一个测试用例，我可以将其提供给证明者并使其给出错误的答案，如果独特变量功能已禁用。到目前为止，我只是找不到这种测试用例。

— rwallace 2012年

@rwallace为什么要这么做？解析是一种完整的方法，您知道在任何情况下都仅需对每对子句执行一次解析。您建议最终尝试所有可能的顺序，以进行回溯。这将大大增加算法的复杂度，甚至与在每个步骤中仅重命名变量也无法遥不可及。

— PetrPudlák2012年