Cookie框中有多少个Cookie？—平铺星星

随着假期临近，我决定做一些肉桂星。那很有趣（而且结果很好吃），但是当我把第一盘星星放在盒子里时，我的内心书呆子就有些畏缩了，它们不能合在一起了：

几乎！他们有办法适应吗？无论如何，我们如何才能平铺星星？假定这些是规则的六点星，我们当然可以使用众所周知的六边形平铺作为近似，如下所示：

^{弄乱了右上角的那个，哎呀。}

但这是最佳选择吗？提示之间有足够的空间。

考虑到这一点，让我们将自己限制为矩形框和六点规则的恒星，即，每个尖端与其相邻的角之间存在三十度（或）。恒星的特征在于内半径和外半径： - [R我ř$\frac{\pi}{6}$$r_i$$r_o$

^{[ 来源 ]}

请注意，对于，我们有六角形；对于，我们有六边形。我认为考虑这些极端情况（对于Cookie）并将自己限制在两者之间的范围内是合理的，即。- [R我=$r_i = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot r_o$ř$r_i = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot r_o$$\frac{r_i}{r_0} \in \Bigl[\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr]$

我的cookie的和忽略了缺陷-我只是想品尝，而不是一次成型！- [R ö ≈ 25 米$r_i \approx 17\mathrm{mm}$$r_o \approx 25\mathrm{mm}$

如上所述，最佳的恒星平铺是什么？如果没有静态的最佳平铺，是否有一种算法可以有效地找到良好的平铺？

让我部分回答关于六边形的问题。

您可以进行以下平铺

$\hskip1.2in$

这样，您将覆盖平面的12/14 = 6/7（计算虚线四边形中的三角形）。

这是最优的吗？我会这样认为。尽管我没有给出证明，但我会提供一些论据。有人会问，我们在填充尖峰之间的空间（三角形）有多好。在上面的拼贴中，我们填充了一半。我们可以做得更好吗？

$\hskip20mm$

两个六边形可能会与此空间相交，但随后它们将覆盖其面积很小（没有证明）。如果只有一个六边形相交，则如图所示，我假设其尖端接触另一个六边形的凹角。如果不是这种情况，我们可以通过将相交的六边形移到此角来改进（此处再次没有证明）。在这些假设下，不难发现边对边接触的情况会使交点最大化。如果您做数学运算，那么您会发现相交的面积等于

该函数的图形如下所示，表明我们的直觉是正确的。

$\hskip30mm$

以下内容并非作为对这个可能出乎意料的复杂问题的确定或特定/优越的攻击，但由于到目前为止尚未涵盖其他科学/理论角度/一般研究。

1个^ST这个一般区域被称为/归类为“装箱”，这是一个2D的情况。有一些著名的数学证明相关，例如开普勒查询球体填充的3d案例，这是一个世纪以来的一个开放问题，并由Hales用计算机证明“最近”解决了。在工业上每天使用的2d示例案例是用于优化芯片布局。显然，这与问题不同，但可以指出这类问题的某些复杂性。例如，似乎没有任何理论要求/表明2d情况比3d情况更简单。还应注意，除了说多边形边界之外，简单的矩形边界并不一定有助于简化解决方案。

如果在问题陈述中给出了某种“常规平铺”的基本定义/方案（例如放在网格上等），则可能会有一种解析解。在这种情况下，微积分方程可能是可推导的并且是最佳的。

问题的条件（可能是违反直觉的）似乎并没有得出解析的最优解。对于某些已知但不确定的平铺问题，这可能是令人惊讶的（这是几年前的著名结果，并且有很多参考文献甚至正在进行的研究），这是未知的。可确定（可解决/分析）和不可确定问题之间的主要区别在于平铺是否为“常规”。上面的问题是指“常规恒星”，而不是“常规平铺”。当前的另一种答案假设一种规则的平铺或顺序，但是请注意，即使在形式上/数学上定义“规则的平铺”也可能非常棘手。

诸如此类的问题通常很容易被遗传算法解决。这样的算法可以找到“非常好”的包装，不太可能得到很大的改善，也许可以通过非常巧妙的方法（即，必须在最优的很小误差百分比之内）将某些界限置于其最优性上，但不能证明任何是最佳的。

以下是一些通常直接适用的参考：

• 遗传算法的使用示例。关于多边形 / Jacobs 装箱的遗传算法

• 几何 堆积和缩放问题的算法博士学位论文/ Michael Formann 1992，92p，sec 3.6缩放星形x-单调对象p30

• 任意形状 / APAATH PASHA的几何箱包装算法 2003研究生论文87p

• 这个stackexchange问​​题也很接近。在任意边界内包装任意多边形。它是针对任意边界的

尽管可能尚未研究此特定问题，但Laszlo Fejes Toth曾提出过此类问题，这些问题被称为包装问题。我强烈推荐Pach-Agarwal书的第三章。