无限字母图灵机

9

被允许从无限字母中读取和写入符号的图灵机是否比常规TM更强大（这是唯一的区别，该机器仍具有有限数量的状态）？

直觉告诉我没有，因为您需要无限多个状态来区分每个符号。因此，我认为某些符号或由符号引起的过渡（或过渡的某些子集）必须等效。因此，您实际上可以使用常规TM和此类符号或转换的有界子集来模拟此类机器。

我该如何寻求对此的正式证明？

— 扎德
source

7

同时交叉张贴在CSTheory上。请不要那样做。它使您的问题显得比其他问题更重要。这可能更适合这里。

— Juho 2012年

17

不，它会更强大。过渡函数将不再是有限的，并且可以为您带来很多功能。

使用无限字母，您可以将无限集合中的任何输入项编码为一个符号（尽管输入集不能比字母集合“更无限”，例如，字母表可能仅是可数无限的，因此不可数的元素像实数这样的集合不能用一个符号表示）。同样对于输出。

因此，您可以通过一次转换来制作两种状态（一个初始状态，一个接受状态）的Infinite-alphabet-TM，该状态转变为接受状态并根据您要计算的功能更改磁带头下的符号。通过此配方，您可以计算可以与字母一一对应的集合之间的任何映射。

因此，为了避免那种退化的机器能解决所有问题，您需要限制转换功能的作用。一个明显的要求是过渡函数本身必须是可计算的（普通TM的过渡函数毕竟是微不足道的，因为它们是有限的）。但是，那么您将尝试使用可计算函数来定义可计算函数模型。

— 本
source

6

上面的答案是正确的，但是关于无限字母和可计算性还有更多的话可以说。

图灵机在WP中被描述为，其中所有集合都是有限的。因此，过渡函数必然是有限的。 $M = (Q, \Gamma,b,\Sigma,\delta, q_0, q_f)$

δ : Q / F \times Γ \to Q \times Γ \times {L, R}

$\delta: Q / F \times \Gamma \rightarrow Q \times\Gamma \times \{L,R \}$

在一个无限字母表机我们将取代输入字母表由发言权等由带字母和由过渡函数服从： $\Sigma$ $\Sigma^{inf}$ $\Gamma^{inf}$ $\delta^{inf}$

δ^{i n f} : Q / F \times Γ^{i n f} \to Q \times Γ^{i n f} \times {L, R}

$\delta^{inf}: Q / F \times \Gamma^{inf} \rightarrow Q \times\Gamma^{inf} \times \{L,R \}$

因此必然是一个无限函数。如前所述，如果该函数是不可计算的，则以上内容不是可表示的。让我们假设，如果可能的话，我们将保持（部分）递归。问题是字母表是否将始终允许这样做。 $\delta^{inf}$ $\delta^{inf}$

一个基本的问题是有限字母的整体呈现（因此我们可以选择递归定义函数），但无限字母永远不能完整地呈现。那么，生成字母的机制是什么？

对此进行考虑的最简单方法是，假设存在一个有限的“核心”字母，例如。然后生成语言。假设中的字符串abaab。然后定义。因此，无限字母由的字符串集组成，这些字符串被连接成单个符号，如。 $A=\{a,b\}$ $L \subset A^*$ $\in L$ $\alpha = <abaab> \in \Gamma^{inf}$ $L$ $<abaab>$

最简单的这样的字母基本上是<1 *>，这是通过对每个符号中的竖线笔数进行计数来区分任意两个符号的常规语言。这将可以通过有限状态解析器（尽管作为LBA而不是有限自动机）进行计算。图灵主张使用有限字母以避免在TM运算中出现任何非限定运算。但是，值得注意的是，英文字母的26个字母不遵循此计数模式：字母z不包含26个笔触或点或任何其他内容。因此，基于递归可枚举（re）语言的最通用计算模式下的其他模式也是可能的。 $L$

但是这里的问题是，除非明确提供的定义，否则无法构造。这部分是因为再套等价是不可判定，部分是因为否则我们永远只能有一个有限的样品工作，并不能推断从。如果我们确实有的定义（因此有），则如果在是递归的，则在有限A中是递归的，因此是绝对递归的，因此可以是递归的。 $\delta^{inf}$ $L$ $L$ $L$ $\Gamma^{inf}$ $f$ $\Gamma^{inf}$ $f$ $f$ $\delta^{inf}$

最后，我们通过两个示例考虑不等于的情况： $L$

例子1。如果可证明是发散的。在这种情况下，字母显然不会具有有限的描述-而是会随着时间的推移而“增长”（并且只能在一定的计算范围内完全被定义）。但这是一个无限的字母，在任何情况下都无法一次显示。因此，如果在是递归的，则f在停止集中。因此不能递归。 $<n>\in \Gamma^{inf}$ $\phi_{n}(n)$ $\Gamma^{inf}$ $f$ $\Gamma^{inf}$ $\Delta_2^0$ $\delta^{inf}$

例2。一个更几何的例子考虑了类似彭罗斯的瓷砖。如果是N个非周期性平铺的单位，则可让符号证明可以平铺平面。这个字母是无限的，因为可以为任何N构造一个Pentile瓷砖的N瓦片单元。但是，平铺平面本身是不确定的，因此，随着发现更多这样的图块，S的集合将增长。可能的递归但不是绝对递归，可能是f（S）= S中的图块数。 $S\in\Gamma^{inf}$ $S$ $f$ $\Gamma^{inf}$

— 罗伊·辛普森
source