组同构到图同构

在阅读一些有关计算复杂性的博客时（例如，在此处），我吸收了这样一种观念，即确定两组是否同构比测试两个图的同构容易。例如，在所述页面上说图形同构是比组同构更普遍的问题。

因此，我提出以下内容

给定一个组，有人可以给出|的大小多项式图Γ （G ）的构造。 G | 使得Γ （G ^ ）＆cong; Γ （ħ $G$$\Gamma(G)$$|G|$团体 g ^和 ^ h

$$\Gamma(G) \cong \Gamma(H) \iff G \cong H$$ $G$$H?$

减少量在Miller 的经典论文中进行了描述。

没那么快。这里有一个很大的模糊性：

您如何输入组进行计算？

与图形不同，可以通过在输入大小和结果复杂度方面相差很大的方式来输入组。Miller中引用的版本是最不自然的版本之一，例如，您不会在计算机代数系统（例如GAP，Magma或Sage）中发现该版本。因此，尽管它有一个理论上的前提，但是解决这个问题太过分了。

1. 生成器和关系：组同构是不可确定的（图形同构是可确定的）。

$G$$G=1$

对于由生成器和关系输入的组：组同构比图同构更难，实际上是不可确定的。

2. 软件系统使用的输入：排列和矩阵组的组同构至少与图形同构一样硬（反之则不然）。

$p$

对于软件系统的组输入：组同构至少与图同构一样硬。

3. 理论复杂度输入：对于黑盒组输入，未知的组同构在NP或共NP中（图形同构在这两者中）。

$\Sigma^2$$f:G\to H$$G$$H$$f$是有效的同态。至少，您似乎需要对这些组进行介绍，而这很难获得。

对于黑匣子组：组同构至少与图同构一样硬。

4. Cayley表输入。

在1970年代的Tarjan中，Pultr-Hederlon，Miller等人观察到，整个乘法表输入的组也可以视为图形。这样，组同构确实在多项式时间内减少到图同构。Miller进一步观察到，许多组合结构都执行相同的操作，例如Steiner三倍。他还证明了半群同构等效于图同构。

$n^{O(\log n)}$

对于Cayley表：组同构减少为图同构。

$n$$O((\log n)^3)$

$n$$O(n^2 \log n)$