如何确定

我们进行了以下练习。

让

$\qquad \displaystyle f(n) = \begin{cases} 1 & 0^n \text{ occurs in the decimal representation of } \pi \\ 0 & \text{else}\end{cases}$

证明是可计算的。$f$

这怎么可能？据我所知，我们不知道是否包含数字的每个序列（或哪个序列），并且算法当然不能确定某个序列没有发生。因此我认为f是不可计算的，因为根本的问题只能是半确定的。$\pi$$f$

只有两种可能性要考虑。

• $n$$0^n$$\pi$

• $N$$0^N$$\pi$$N$

  Zeros-in-pi(n):
   if (n > N) then return 0 else return 1
  

$N$$n$$\pi$

请注意与gallais提出的以下证明草图的细微差别：

1. 拿一个随机的图灵机和一个随机的输入。
2. 计算要么永远进行下去，要么就在某个时刻停止，并且有一个（常数）可计算函数来描述这些行为中的每一个。
3. ???
4. 利润！

亚历克斯·十·布林克解释说：

请注意暂停定理指出的内容：它说没有一个程序可以决定给定程序是否暂停。您可以轻松地编写两个程序，以便其中一个计算给定程序是否暂停：第一个总是说“停止”，第二个总是不停止-一个程序总是正确的，我们无法计算哪个其中是！

sepp2k添加：

在Alex的示例中，两种算法都不会为所有输入返回正确的结果。在这个问题的情况下，其中一个会。您可以声称问题是可以判定的，因为您知道有一种算法可以为所有输入产生正确的结果。您是否知道该算法是哪一个都没有关系。10

只是对JeffE的答案稍作阐述。

我们知道存在两个可以计算函数f（n）的函数/情况：

1. 始终返回true的函数（对于所有n，存在n个连续的0）
2. 如果n小于整数N，则返回true的函数，其中N定义为给定无理数中存在的连续0的最大长度（否则返回false）。

这些功能中只有一种是正确的。我们不知道哪个，但是我们肯定知道答案。可计算性要求存在一个可以在有限的步骤内确定答案的函数。

情况1的步数被琐碎地绑定为仅返回1。

$N$$T_N(n)$$n < N$$N$$N$$T_N(n)$$n < N$

尽管可能无法在这两种情况之间进行选择（尽管似乎比另一种情况更有可能），但我们知道其中一种情况必须正确。

附带说明：我们的解决方案假设，虽然我们无法确定哪个函数会得出正确的值，但可计算性的本质并不依赖于证明的可构造性。纯粹的存在就足够了。

以下证明尝试的步骤5是不合理的，实际上是错误的 -在此处可以找到反例。（感谢Yuval；它确实感觉像是草图中最粗略的部分）。我把答案留在这里，因为我认为错误是有启发性的。

首先，JeffE的答案就足够了；f是可计算的。

$\pi$
$\pi$
$\pi$

$\pi$
$\pi$