迷失于“单向”音乐会

您和一位朋友在一场音乐会上失去了对方，也无法确定你们中的哪一位遥遥领先。形式上，每个坐标都位于某个整数坐标处，并且只能朝更高的坐标走或停留在原处。

假设您和您的朋友使用完全相同的算法（不，您可能不会说“ if（name ==“ R B”）做某事:)），并且两个人之间的初始距离是 $x$ （不是知道）。

在您和您的朋友见面之前，最小化预期步行距离的算法是什么？

您可能会假设您的朋友和您自己都以相同的恒定速度运动。

一个简单的算法示例如下：

在阶段（从开始 $n$ $0$ ）：

向右走步wp $3^n$ 或等待时间单位，否则。 $\frac{1}{2}$ $3^n$

要查看此算法使朋友的概率是1相遇考虑在阶段发生的事情。即使那是在朋友领先一步走到总是和对方总是留在地方，两者之间的距离将是： $(\log_3 x+1)$ $x$

x + 1 + 3 + 9 + \dots + 3^{\log_{3} x} = 2 x + \frac{x - 1}{2} \leq 3 x

$x+1+3+9+\ldots+3^{\log_3 x}=2x+\frac{x-1}{2}\leq 3x$

因此，在次迭代，其选择步行，将覆盖的距离的朋友，因此，以概率 $\log_3 x+1$ $3^{\log_3 x+1}=3x$ ，后面的朋友会追上他们，并会面。 $\frac{1}{4}$

一个简单的优化（以减少步行距离）将是，而不是步行步，而是步行步，其中表示为： $3^x$ $c^x$ $c$

2 + \frac{1}{c - 1} = c

$2+\frac{1}{c-1}=c$

因此，最佳这个算法是 $c$ $c=\frac{3+\sqrt 5}{2}\approx 2.618$

不幸的是，虽然此算法保证朋友会以1的概率相遇，但预期的步行距离是无限的，如果可能的话，我想避免这种情况。

有没有更有效的算法？

algorithms randomized-algorithms

— RB
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当您说“预期的步行距离”时，您是说在最坏的情况下该算法是概率性的，还是在输入中还假设一些分布？另外-您是否要求算法始终正确或wp 1是否正确？（或更少？）-请注意，您在此处显示的算法可能永远不会停止（但wp 0）

— Shaull

这类似于线性搜索问题（en.wikipedia.org/wiki/Linear_search_problem）。

— Yuval Filmus 2015年

@Shaull-由于两个朋友都遵循相同的算法，因此它必须具有概率性，否则将永远无法满足。期望值超过了算法的随机性。

— RB 2015年

在您的算法中，您是指以恒定速度

向右行走

单位时间吗？步行

步可能不会说2 ^ n次。

2^{n}

$2^n$

C

$C$

2^{n}

$2^n$

— 吖奇说ARCHYSHUō2015年

@ 0a-archy-我们假设两者以相同的速度移动（设为1

单位）。我给出的算法中的想法是，您要么走

步，要么等待相等的时间，所以对于每个玩家，每次迭代都在同一时间开始。

\frac{step}{time unit}

$\frac{\text{step}}{\text{time unit}}$

2^{n}

$2^n$

— RB

在步骤，画出一个随机数均匀地之间，，和。 $k$ $q$ $1$ $2$ $3$

$q = 1$ $2^{k-1}$ $2^{k+1}$ $2^{k-1}$

$q = 2$ $2^{k-1}$ $2^{k-1}$ $2^{k}$ $2^{k-1}$ $2^{k-1}$

$q = 3$ $2^k$ $2^k$ $2^k$

$k$ $2^k$ steps. If $k < \log_2(x) + 1$ , they won't meet during that step, however if $k >= \log_2(x) + 1$ , they will meet if and only if they don't draw the same number. The probability that this doesn't happen is only $1/3$ at each step.

Hence the expected walking distance is (bounded above by):

2 (\sum_{k = 0}^{⌈ \log_{2} (x) ⌉} 2^{k} + 3^{⌈ \log_{2} (x) ⌉} \sum_{k = ⌈ \log_{2} (x) ⌉ + 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{k})

$2\left(\sum_{k=0}^{\lceil\log_2(x)\rceil}2^k+3^{\lceil\log_2(x)\rceil}\sum_{k=\lceil\log_2(x)\rceil+1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^k\right)$

Which is finite, and equal, if my napkin maths are to be trusted, to $2^{\lceil\log_2(x)\rceil+3}-2 \le 16x$ .

By the way, if $d$ is the random variable representing the distance walked, we still have that $\forall D>0, \mathrm{P}(d>D) > 0$ , i.e. the distance is unbounded and can end up being arbitrarily high. Luckily this probability vanishes fast enough to ensure that the infinite sum $\sum_{D=0}^{\infty}\mathrm{P}(d=D)\cdot D = \mathbb{E}[d]$ converges. Having a finite upper bound for $d$ is a much stronger property and I reckon it's not possible to find a solution satisfying it.

— David Durrleman
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