计算第个斐波那契数的高效算法

可以使用以下递归在线性时间中计算第个斐波那契数：$n$

def fib(n):
    i, j = 1, 1
    for k in {1...n-1}:
        i, j = j, i+j
    return i

第个斐波那契数也可以计算为。但是，这对于甚至较小的都有舍入问题。可能有一些解决方法，但我宁愿不这样做。[ φ Ñ / $n$$\left[\varphi^n / \sqrt{5}\right]$$n$

是否有一种有效的算法（值为或更好的对数）来计算不依赖浮点算术的第个斐波那契数？假定整数运算（，，，）可在恒定的时间来执行。n + - × $n$$n$$+$$-$$\times$$/$

您可以使用矩阵幂和 在您的计算模型中，如果使用重复平方来实现幂运算，则这是算法。O（logn

您可以阅读以下数学文章： 一种用于计算大斐波那契数的快速算法（Daisuke Takahashi）： PDF。

更简单的是，我用C ++（不带GMP）和Python实现了几种斐波那契算法。有关Bitbucket的完整资料。在主页上，您还可以访问以下链接：

• C ++ HTML在线文档。
• 一些数学文件： 斐波那契数-实施良好算法的几种关系

最有用的公式是：

• $F_{2n} = F^2_{n + 1} - F^2_{n - 1} = 2 F_n F_{n - 1} + F^2_n$
• $F_{2n + 1} = F^2_{n + 1} + F^2_n$

在算法上要小心。您不得多次计算相同的值。一个简单的递归算法（在Python中）：

def fibonacci_pair(n):
    """Return (F_{n-1}, F_n)"""
    if n != 0:
        f_k_1, f_k = fibonacci_pair(n//2)  # F_{k-1},F_k with k = n/2

        return ((f_k**2 + f_k_1**2,
                 ((f_k*f_k_1)*2) + f_k**2) if n & 1 == 0  # even
                else (((f_k*f_k_1)*2) + f_k**2,
                      (f_k + f_k_1)**2 + f_k**2))
    else:
        return (1, 0)

它的复杂度是对数的（如果基本操作是在恒定的时间内）：。$O(\log n)$

可从http://www.jjj.de/获得用于在以恒定系数计算线性递归的基本理论和代码。$O(\log_2 n)$

查看免费书籍《 Matters Computational》和pari / gp代码。