任意精度整数平方根算法？

是否有已知的次二次算法来计算n位整数的平方根的下限？

天真的算法是这样的

def sqrt(x):
    r = 0
    i = x.bit_length() // 2
    while i >= 0:
        inc = (r << (i+1)) + (1 << (i*2))
        if inc <= x:
            x -= inc
            r += 1 << i
        i -= 1
    return r

这需要O(n)迭代，每个迭代都涉及O(n)时间的增加，因此O(n^2)总的来说是时间。有什么更快的方法吗？我知道对于乘法来说，有一些特殊的算法比二次时间要好，但是对于平方根我找不到任何东西。

您可以使用牛顿方法或许多其他方法中的任何一种来找到多项式根的近似值。$p(x) = x^2 -c$

牛顿方法的收敛速度将是二次的，这意味着正确的位数在每次迭代中加倍。这意味着牛顿方法的次迭代就足够了。$O(\lg n)$

牛顿方法的每次迭代都会计算

$$x_{j+1} = x_j - (x_j^2 -c)/(2x_j) = 0.5 x_j + \frac{c}{2x_j}.$$

乘法的位复杂度为O（b lg b ），以将两个b位整数相乘（忽略lg lg b因子）。除法的位复杂度（精确到b位）是相同的。因此，可以以O（n lg n ）个运算来计算每个迭代。乘以O （lg n ）迭代，我们发现计算n位精度的平方根的总运行时间为O（n （lg n$\stackrel{~}{O}(b \lg b)$$b$$\lg \lg b$$b$$\stackrel{~}{O}(n \lg n)$$O(\lg n)$$n$。这是次二次的。$\stackrel{~}{O}(n (\lg n)^2)$

我认为更仔细的分析表明，可以将其改进为O（n lg n ）的运行时间（考虑到我们只需要知道每个x j的精度在j位左右，而不是n位精度内） 。但是，即使是更基本的分析也已经显示出运行时间显然是次二次的。$\stackrel{~}{O}(n \lg n)$$x_j$$j$$n$

牛顿方法的问题之一是它在每次迭代中都需要除法运算，这是最慢的基本整数运算。

但是，牛顿的平方根倒数方法却没有。如果是您要查找的数字$x$，迭代：$\frac{1}{\sqrt x}$

$$r_{i+1} = \frac{1}{2} r_i (3 - x r_i^2)$$

通常表示为：

d i = 1 − w i x r i + 1 = r i + r i d

$$w_i = r_i^2$$ $$d_i = 1 - w_i x$$ $$r_{i+1} = r_i + \frac{r_i d_i}{2}$$

那是三个乘法运算。除以二可以实现为右移。

现在的问题是不是整数。但是，您可以通过手动实现浮点，并在适当的时候进行大量的移位操作来进行补偿，从而进行操作。$r$

首先，让我们重新缩放：$x$

$$x' = 2^{-2e} x$$

$x'$$1$$x'$$x$$r = \frac{1}{\sqrt x'}$$\sqrt{x} = 2^e r x'$

$r$

$$r_i = 2^{-e_i} r'_i$$

$r'_i$$e_i$

我们知道，牛顿的方法使精确有效数字的数量大约增加了一倍。因此我们可以选择：

$$e_{i+1} = 2e_i$$

经过一点操作，我们发现：

$$e_{i+1} = 2e_i$$ $$w_i = {r'_i}^2$$ $$x'_i = \frac{x}{2^{2e - e_{i+1}}}$$ $$d_i = 2^{e_{i+1}} - \frac{w_i' x'_i}{2^{e_{i+1}}}$$ $$r'_{i+1} = 2^{e_i} r'_i - \frac{r'_i d_i}{2^{e_i + 1}}$$

在每次迭代中：

$$\sqrt{x} \approx \frac{r'_i x}{2^{e + e_i}}$$

$x = 2^{63}$$2^{31}\sqrt{2}$$\frac{1}{\sqrt{2}} 2^{-31}$$e = 31$$r'_0 = 3$$e_0 = 2$$\frac{3}{4}$$\frac{1}{\sqrt{2}}$

然后：

$$e_1 = 4, r'_1 = 11$$ $$e_2 = 8, r'_2 = 180$$ $$e_3 = 16, r'_3 = 46338$$ $$e_4 = 32, r'_4 = 3037000481$$

$e_i$$e$$e_i > 2e$

$$\sqrt{2^{63}} \approx \frac{3037000481 \times 2^{63}}{2^{31+32}} = 3037000481$$

$3037000499$$e_i$

$b$$O(b \log b)$$r'_i < 2^{e_i}$$w_i$$e_i$$e_{i+1}$$e_{i+1}$$2e_{i+1}$位数字。

$O(e_i \log e_i)$$O(\log e)$$O(2e \log 2e)$$O(e \log^2 e)$$x$

但是，此分析隐藏了一个重要原则，每个使用大整数的人都应记住：因为乘法的位数是超线性的，所以任何乘法运算都只能在具有当前精度大小的整数上执行（并且，我可能会补充，您应该尝试将数量级相似的数字相乘）。使用大于该整数的整数会浪费精力。常数因子很重要，对于大整数，它们非常重要。

$\frac{ab}{2^c}$$ab$$c$