分段求和问题的分段树实现的时间复杂度证明

我知道可以使用段树来找到的子数组的总和。根据此处的教程，该操作可以在时间内完成。$A$$\mathcal{O}(\log n)$

但是我无法证明查询时间确实是。此链接（以及许多其他链接）说，我们可以证明在每个级别上，已处理的最大节点数为，因此。$\mathcal{O}(\log n)$$4$$\mathcal{O}(4 \log n) = \mathcal{O}(\log n)$

但是，我们怎么可能通过矛盾来证明这一点呢？

如果是这样，如果我们将分段树用于高维数组的范围和，该证明将如何扩展？

例如，我可以考虑通过将原始矩阵划分为4个象限（类似于线性阵列中的一半）来找到一个子矩阵总和，以构建一个象限分段树，但是证明使我难以理解。

声称每个级别最多扩展节点。我们将通过矛盾证明这一点。$2$

考虑下面给出的段树。

假设在此树中扩展了节点。这意味着范围是从最左边的彩色节点到最右边的彩色节点。但是请注意，如果范围扩展到最右边的节点，则将覆盖中间节点的整个范围。因此，此节点将立即返回该值，并且不会扩展。因此，我们证明在每个级别上，我们最多扩展节点，并且由于存在级别，因此扩展的节点为2 日志Ñ 2 ⋅ 日志Ñ = Θ （日志Ñ$3$$2$$\log{n}$$\boxed{2 \cdot \log{n} = \Theta\left( {\log{n}} \right)}$