停止问题的不确定性证明是否会通过反转结果作弊？

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我很难理解图灵的暂停问题。

他的证明假设存在一个神奇的机器，该机器可以确定对于给定的输入，计算机将永远停止还是循环。然后，我们连接了另一台使输出反转的机器，我们有一个矛盾，因此不存在。 $H$ $H$

我担心的是，好像我们说的答案是错误的，因为我们将其颠倒了。打个比方，如果有一台名为的机器，它在某些输入上输出正确答案，而在其他输入上输出错误答案。然后，我们连接另一台机器，该机器反转的结果，因此这两台机器的组合与的定义方式矛盾。现在，这两台机器会为定义为输入生成错误答案以输出正确答案，并为定义为输入输出正确答案以输出错误答案。这会被称为矛盾，因此不存在一种在某些输入上输出正确答案而在其他输入上输出错误答案的机器吗？ $A$ $A$ $A$ $A$ $A$

computability halting-problem

— 用户名
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简短版本：机器的输出不正确或不正确，它们只是矛盾的，这证明了决定输入机器是否在给定字符串上暂停的初始机器不存在。

长版本：首先，我们将草绘证明（或至少一个版本-有很多）。

假设我们有一个图灵机来确定图灵机是否在输入停止。 $\mathrm{HALT}(\langle M\rangle, x)$ $M$ $x$
使用构造一台机器，该机器使用检查上的是否停止，然后执行相反的操作，即，如果上的停止，循环，如果不在停止，停止。 $\mathrm{HALT}$ $\mathrm{FLIP}(\langle M\rangle, x)$ $HALT$ $M$ $x$ $M$ $x$ $\mathrm{FLIP}$ $M$ $x$ $\mathrm{FLIP}$
最后，我们创建一个TM（我跑了好名字了），这需要一个TM和运行的描述与输入，输出任何输出。 $\mathrm{C}(\langle M \rangle)$ $\mathrm{FLIP}$ $(\langle M \rangle, \langle M \rangle)$ $\mathrm{FLIP}$

重要的是要注意，只要决策者存在，这些步骤中的每个步骤都易于实现；只需使用来检查要做什么，而只需复制其输入以传递给。 $\mathrm{HALT}$ $\mathrm{FLIP}$ $\mathrm{HALT}$ $\mathrm{C}$ $\mathrm{FLIP}$

当我们查看运行会发生什么时，就会出现矛盾。任一当给定的本身为输入或不暂停。将决定以下内容： $\mathrm{C}(\langle\mathrm{C}\rangle)$ $\mathrm{C}$ $\mathrm{HALT}$

如果在输入上停止，会说，但是会循环，因此会循环，与矛盾。 $\mathrm{C}$ $\langle\mathrm{C}\rangle$ $\mathrm{HALT}$ $\mathsf{Yes}$ $\mathrm{FLIP}$ $\mathrm{C}$ $\mathrm{HALT}$
如果在输入上循环，将说，但是将停止，因此也将停止停顿，与矛盾。 $\mathrm{C}$ $\langle\mathrm{C}\rangle$ $\mathrm{HALT}$ $\mathsf{No}$ $\mathrm{FLIP}$ $\mathrm{C}$ $\mathrm{HALT}$

由于构造过程中的每个步骤都很明确，因此我们只能得出不存在的结论。我们已经构造了一个案例，无论说什么，都无法决定输出什么，即问题无法确定。只是要稍微敲一下一点，不存在-就是说无法确定暂停问题的TM-因为至少有一种情况我们已经明确构造了，逻辑上可能的答案。请记住，决策者不允许输出错误的答案，而必须输出某些内容，但是在我们构造的情况下，两个可能的答案都是错误的。 $\mathrm{HALT}$ $\mathrm{HALT}$ $\mathrm{HALT}$

— 卢克·马蒂森（Luke Mathieson）
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您对机器定义没有意义，因为它不接受接受的任何输入。那么它如何运行？

C

$C$

M

$M$

— AleksandrH

7

您正在讨论“矛盾”的两种不同含义。

打个比方，机器A及其翻转的修改在它们的输出始终不同的意义上相互矛盾。（例如，他们可能会在整数实现两个测试功能，“ X ≤5？”和“ X > 5？”）这是肯定的一件事“矛盾”可以在日常使用的意思，但它不是由它在逻辑意思证明。

在逻辑证明中，它意味着更强大的东西：根本不可能的东西。例如，一个函数在大于5的所有输入上返回“ true”，而在小于10的所有输入上返回“ false” –从更强烈的意义上来说是矛盾的，因为对于例如7，其输出必须都为“ true”和“假”，但不一样。图灵的论点表明，从更严格的意义上讲，暂停程序是自相矛盾的：假定它导致了不可能的事情，或者已经知道是错误的。

— 彼得·勒法努·鲁姆斯戴因
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2

这是停止问题无法确定的另一个证明。我们说一个程序输出字符串，如果它停止，输出。（如果程序从不停止，则它不会输出任何字符串。）将）定义为最长为的C程序输出的最长字符串的长度。 $x$ $x$ $f(n)$ $n$

假设停止问题是可以确定的。然后可以通过C程序计算： $f(m)$

在输入，运行所有长度最大为暂停C程序，并确定其输出；返回最大输出的长度。 $m$ $m$

这意味着对于每个，我们可以编写一个程序，该程序输出零。的长度是多少？有一个带占位符的固定C程序模板，该模板实现；占位符应填充常数。指定需要字符（此处是的十进制表示形式的），其中。模板采用固定数量的字符，因此的长度为。如果我们选择 $m$ $P_m$ $f(m)+1$ $P_m$ $P_m$ $m$ $m$ $|m|$ $|m|$ $m$ $|m| \approx \log_{10} m$ $T$ $P_m$ $T + \log_{10} m$ $m$ 足够大（可以），我们将有，因此至少是输出的字符串的大小，即。我们已经矛盾了。 $m=2T$ $T + \log_{10} m \leq m$ $f(m)$ $P_m$ $f(m) \geq f(m) + 1$

— Yuval Filmus
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