整数，有理数和实数的标准构造定义？

10

自然数被归纳定义为（以Coq语法为例）

Inductive nat: Set :=
| O: nat
| S: nat -> nat.

有没有一种标准的方法来建设性地定义整数（以及可能的其他集合，例如有理数和实数）？

arithmetic dependent-types coq

— 亚历克斯
source

1

什么是建设性定义？

— Trismegistos

12

有多种定义数学结构的方法，具体取决于您认为哪些属性是定义。在等效的表征之间，您将哪个作为定义，而将哪个作为替代描述并不重要。

在构造数学中，最好选择一个使构造推理容易的定义。对于自然数，推理的基本形式是归纳法，这使得传统的零或后继定义非常适合。其他数字集没有这样的偏好。

在非构造条件下进行商数推理时，通常说“选择等价类的成员”。在建设性环境中，有必要描述如何挑选成员。这样就更容易使用为每个类型的成员构造一个对象的定义，而不是构造等效类。

例如，要定义，数学家可能会乐于等价于自然数的差异：尽管它有一个整洁的感觉（没有“ this or that”），但是对于构造性的推理，如果对象相等与表示相等就更简单，因此我们可以将相对整数定义为自然数或自然数的负数减去1： $\mathbb{Z}$

Z := N^{2} / {((x, y), (x^{'}, y^{'})) ∣ x + y^{'} = x^{'} + y}

$\mathbb{Z} := \mathbb{N}^2 / \{((x,y),(x',y')) \mid x + y' = x' + y\}$

Inductive Z1 :=
  | Nonnegative : nat -> Z1   (* ⟦Nonnegative x⟧ = ⟦x⟧ *)
  | Negative : nat -> Z1.     (* ⟦Negative x⟧ = -⟦x⟧-1 *)

但是，此定义奇怪地是不对称的，这可能使得最好接受两个不同的表示形式为零：

Inductive Z2 :=
  | Nonnegative : nat -> Z2   (* ⟦Nonnegative x⟧ = ⟦x⟧ *)
  | Nonpositive : nat -> Z2.  (* ⟦Nonpostitive x⟧ = -⟦x⟧ *)

或者我们可以构建相对整数而不使用自然数作为构建块：

Inductive Pos3 :=
  | I : Pos3                  (* ⟦I⟧ = 1 *)
  | S3 : Pos3 -> Pos3         (* ⟦S3 x⟧ = ⟦x⟧+1 *)
Inductive Z3 :=
  | N3 : Pos3 -> Z3           (* ⟦N3 x⟧ = -⟦x⟧ *)
  | O3 : Z3                   (* ⟦O3⟧ = 0 *)
  | P3 : Pos3 -> Z3           (* ⟦P3 x⟧ = ⟦x⟧ *)

的Coq的标准库的用途又一定义：它构造正整数从它们的符号是基体2，作为随后的数字0或1的序列然后它构造数字1 Z等Z3从Pos3上方。此定义还具有每个整数的唯一表示形式。使用二进制表示法的选择不是为了简化推理，而是在从证明中提取程序时产生更有效的代码。

易于推理是选择定义的动机，但它绝不是不可逾越的因素。如果某种构造使特定证明更容易，则可以在该特定证明中使用该定义，并证明该构造与最初选择为定义的另一种构造等效。

对于有理数，很难逃脱商数，除非我们从整数作为因子乘积的表示开始（这使得一些基本运算，例如加法和的总排序难以定义）。Coq标准库定义为（分子和分母），并定义了一个运算符来测试的两个元素的等效性。这个定义很普遍，因为它很简单。 $\mathbb{N}$ Q $\mathbb{N} \times \mathbb{N}^*$ =?=Q

实数是完全不同的鱼，因为它们是不可构造的。将实数定义为归纳类型是不可能的（所有归纳类型都是可数的）。相反，实数的任何定义都必须是公理的，即非建设性的。可以构造实数的无数子集。这样做的方式取决于您要构造的子集。

— 吉尔斯“别再邪恶了”
source

1

在可计算的实数似乎是最合理的候选人，作为实数的多数用途是绑在某种方式他们一贯的排序。

— dfeuer

5

“可构造的”是什么意思？我只知道“可构造集合”的“集合理论”，但这就是您的意思。同样，尽管实数是完全不同的鱼，但“实数的任何定义都必须是公理的，即非建设性的”并不是事实。在同伦类型理论中，对实物有更高的归纳-归纳定义。

— 安德烈·鲍尔

15

吉尔斯答案是一个好答案，除了实数部分的段落完全是错误的，除了实数确实是不同的鱼。由于这种错误信息似乎非常普遍，因此我想在这里记录详细的反驳。

并非所有归纳类型都是可数的。例如感应式

Inductive cow := 
   | nose : cow
   | horn : (nat -> cow) -> cow.

是不可计数的，对于给定的任何序列，c : nat -> cow我们可能形成horn c的序列由于牛的有充分根据而不在序列中。如果要以“所有归纳类型都是可数”的形式正确声明，则必须严格限制允许的构造。

实数不能轻易地构造为归纳类型，除非在同伦类型理论中可以将它们构造为更高的归纳-归纳类型，请参阅HoTT书的第11章。可以说这是作弊。

与Gilles的说法相反，有许多关于实在的构造定义和构造。它们可以大致分为两类：

柯西型构造，其中实数被视为有理数的度量完成。这种构造通常需要商，尽管一个人可能可以摆脱一个词组式的定义，这取决于人如何对待平等。幼稚的构造通常也需要数不清的选择，但弗雷德·里奇曼（Fred Richman）给出了一个完成程序，该程序无需进行选择即可进行建设性的工作，请参见其实数和其他完成。
$\lambda$ $\Sigma$

在实现方面，我们对实数进行了各种构造性形式化（但Coq标准库中没有那么糟糕的形式化形式），例如Robq Krebbers和Bas Spitters的Computer认证了Coq中的有效精确实数。

对于实际执行的具体实数我点你诺伯特·穆勒的iRRAM。

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

— 安德烈·鲍尔（Andrej Bauer）
source

您大概可以在Coq中公理实际封闭域的理论...

— 别名

是的，您可以做到，西里尔·科恩（Cyril Cohen）做到了，请参阅hal.inria.fr/hal-00671809v1/document。你的观点是什么？

— Andrej Bauer 2015年

1

我没有意思，这只是一个假设。

— 别名