测量SAT实例的难度

给定一个SAT实例，我希望能够估计解决该实例的难度。

一种方法是运行现有的求解器，但这种方法无法达到估算难度的目的。第二种方法可能是查看子句与变量的比率，就像在random-SAT中进行相变一样，但是我确信存在更好的方法。

给定一个SAT实例，是否有一些快速的试探法来衡量难度？唯一的条件是，这些启发式方法要比在实例上实际运行现有的SAT求解器快。

相关问题

哪些SAT问题很容易？在cstheory.SE 该问题询问有关易于处理的实例集。这是一个类似的问题，但并不完全相同。我对一种启发式方法非常感兴趣，该启发式方法对单个实例做出了某种半智能的猜测，以确定该实例是否很难解决。

通常，这是一个非常相关且有趣的研究问题。“一种方法是运行现有的求解器...”，这甚至还能告诉我们什么？从经验上我们可以看到，对于特定的求解器或特定的算法/启发式方法而言，一个实例似乎很难，但是它真正说明了该实例的硬度吗？

一直追求的一种方法是识别实例的各种结构特性，从而产生有效的算法。这些属性确实优选是“容易”识别的。一个示例是使用各种图形宽度参数测量的基础约束图的拓扑。例如，已知的是，如果基础约束图的树宽由常数限制，则实例可在多项式时间内求解。

另一种方法集中于实例的隐藏结构的作用。一个示例是后门集，这意味着变量集，以便在实例化它们时，剩下的问题简化为易于处理的类。例如，Williams等人，2003 [1]表明，即使考虑到搜索后门变量的成本，只要后门集合足够小，仍然可以通过关注后门集合来获得总体计算优势。此外，Dilkina等人，2007 [2]指出，称为Satz-Rand的求解器非常擅长在一系列实验域中找到小的坚固后门。

最近，Ansotegui等人，2008 [3]提出使用树状空间复杂度作为基于DPLL的求解器的一种度量。他们证明了恒定有界空间也意味着存在多项式时间决策算法，其中空间是多项式的阶数（本文中的定理6）。此外，它们显示的空间小于循环剪切集的大小。实际上，在某些假设下，空间也小于后门的大小。

他们还将我认为您追求的形式化，即：

$\psi$$\Gamma$$O(n^{\psi ( \Gamma )})$

[1]威廉姆斯，瑞安，卡拉·戈麦斯和巴特·塞尔曼。“典型案例复杂性的后门。” 国际人工智能联合会议。卷 2003年8月18日。

[2] Dilkina，Bistra，Carla Gomes和Ashish Sabharwal。“在后门检测的复杂性中进行权衡”。约束编程原理与实践（CP 2007），pp.256-270，2007。

[3]Ansótegui，Carlos，Maria Luisa Bonet，Jordi Levy和Felip Manya。“测量SAT实例的难度。” 在《第23届全国人工智能会议论文集（AAAI'08）》中，第222-228页，2008年。

既然您了解了相变，请允许我提及我所知道的其他一些简单检查（这些检查可能包含在约束图分析中）：

• 一些早期的随机SAT生成器无意中创建了大多数简单的公式，因为它们使用“恒定密度”，这意味着所有子句长度的比例大致相等。这些通常很容易，因为2子句和单元可以极大地简化问题（正如人们期望的那样），而且长的子句不会增加太多分支，也不会更好地促进超分辨率。因此，似乎最好坚持使用定长子句并更改其他参数。
• $|x|*|\lnot x|$$x$
• $v_1, v_2, v_3$$\{v_1, v_2, ...\}, \{v_2, v_3, ...\}, \{v_1, v_3, ...\}$

[1] https://arxiv.org/pdf/1903.03592.pdf

除了Juho的出色答案之外，还有另一种方法：

Ercsey-Ravasz＆Toroczkai，“ 通过模拟方法优化硬度作为瞬态混沌来满足约束条件”，《自然物理学》第7卷，第966–970页（2011年）。

这种方法是将SAT问题重写为一个动态系统，其中系统的任何吸引子都是SAT问题的解决方案。随着问题变得更加棘手，系统的吸引盆变得更加分形，因此可以通过检查系统收敛之前瞬变的混沌程度来衡量SAT实例的“难度”。

在实践中，这意味着从不同的初始位置启动一堆求解器，并在求解器到达吸引子之前检查其摆脱混沌瞬变的速率。

提出一个动态系统，其中“解决方案”是给定SAT问题的解决方案，这并不难，但是要确保解决方案都是吸引子而不是排斥者，要困难一点。他们的解决方案是引入能量变量（类似于Lagrange乘数）来表示违反约束的严重程度，并尝试使系统最小化系统的能量。

有趣的是，使用他们的动力学系统，您可以在模拟计算机上解决多项式时间中的SAT问题，这本身就是一个了不起的结果。有一个陷阱。它可能需要指数级的大电压才能代表能量变量，因此很遗憾，您无法在物理硬件上实现这一点。