DNF到CNF的转换：简单或困难

关于证明从CNF到DNF的转换是NP-Hard的线程（以及相关的Math线程）：

从DNF到CNF的另一个方向如何？容易还是困难？

在本文的第2页上，他们似乎暗示了两个方向，当他们说“ 我们对从CNF表示转换为DNF表示（反之亦然）时最大的尺寸爆炸感兴趣 ”时，两个方向都同样困难。

但是DNF-SAT在P中，而CNF-SAT在NP中。因此，在给定DNF表达式，应该有一个满足条件的 CNF表达式其长度是的长度的多项式。而且转换可以在多边形时间内完成。它是否正确？ $\phi_1$ $\phi_2$ $\phi_1$ $\phi_1 \to \phi_2$

编辑：更改等效于equisatisfiable（即，附加的变量允许在）。 $\phi_2$

— 马丁·西摩
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您可以从任何公式转到CNF，而当原始公式处于多项式时间内时，CNF可以完全满足要求。这就是为什么CNF-SAT是NP完全的。任何SAT实例（一个NP完全问题）都可以在多项式时间内简化为CNF-SAT。我认为准确地翻译它，不仅保持可满足性有时总是会产生指数爆炸，但我不能肯定地说。

— 杰克2015年

参见en.wikipedia.org/wiki/Tseitin_transformation。本质上，如果允许引入辅助变量，则可以在多项时间内进行此转换（最多以线性方式增加公式的大小）。

— jschnei 2015年

您需要确定是否要允许转换引入新变量，或者转换后的公式是否必须引用同一组变量（没有新变量）。这是一个微妙的问题，对答案产生了戏剧性的影响。那么，您想问什么？

— DW

@Jake 因为 CNF-SAT是NP完全的，所以您可以从任何公式转换为可满足要求的CNF 。并不是“为什么” CNF-SAT是NP完全的：通常证明CNF-SAT是NP完全的证明并不涉及将任意公式转换为CNF。而是将图灵机转换为CNF公式。

— David Richerby

对于DW和其他人-我想到的是可满足性。从这个意义上讲，似乎可满足性只是一种降低（在这种情况下，是另一种布尔公式）。

— 马丁·西摩

如果您愿意引入其他变量，则可以使用Tseitin变换在多项式时间内将DNF转换为CNF形式。所得的CNF公式将与原始DNF公式可满足：只有当原始DNF公式可满足时，CNF公式才可满足。另请参阅https://en.wikipedia.org/wiki/Conjunctive_normal_form#Conversion_into_CNF。

如果您不想允许引入其他变量，则从DNF转换为CNF格式是很困难的。特别地，测试DNF公式是否是重言式是很困难的。但是，可以在多项式时间内测试CNF公式是否为重言式（您只需单独检查每个子句是否为重言式，这很容易，因为每个子句都是文字的析取）。因此，如果您可以在不引入新变量的情况下在多项式时间内从DNF形式转换为CNF形式，那么您将获得用于测试DNF公式是否是重言式的多项式时间算法-鉴于我们的预期，这似乎不太可能P不等于co-NP。或者，换句话说，从DNF转换为CNF形式而不引入其他变量是共NP问题。

这之间的区别在于等价 VS equisatisfiability。等价要求两个公式具有相同的解集（因此不允许引入其他变量）。满足性只要求两个公式都可以满足或不满足（因此可以引入其他变量）。

— DW
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@Mehrdad，请不要使用评论提出新问题。如果您有新问题要问，我们会在右上角有一个“问问题”。但是，只有一点提示...您可能想在问一个新问题之前先阅读本页顶部的问题...，或者为此发表评论。我忍不住注意到您问了一个问题，在与您问题相同的页面上找到答案。

— DW

@DW：糟糕，我实际上稍后看到了另一个帖子，对不起，在这里忘记删除我的评论。现在将其删除。

— user541686 '16