哥德尔不完备定理，停止问题和通用图灵机之间是否有具体关系？

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我一直模糊地认为，对上述问题的回答在以下几方面是肯定的。哥德尔的不完备性定理和停止问题的不可判定性都是关于可判定性的负面结果，并由对角线论证（以及在1930年代）确立，因此它们在某种程度上必须是两种方式来审视同一件事。而且我以为图灵使用了通用的图灵机来表明停止问题是无法解决的。（另请参阅此math.SE问题。）

但是，现在（在学习可计算性课程方面）我更加仔细地研究了这些问题，我对发现的结果感到困惑。因此，我需要一些帮助以理顺我的想法。我意识到，一方面，哥德尔的对角线论点非常微妙：构建一个算术语句需要很多工作，该算术语句可以解释为说出它自己的可导性。另一方面，我在这里发现的停止问题的不确定性证明非常简单，甚至没有明确提到图灵机，更不用说通用图灵机了。

关于通用图灵机的一个实际问题是，通用图灵机的字母与它所模拟的图灵机的字母相同是否重要？我认为这是必要的，以便编造适当的对角线参数（让机器自己模拟），但是我在网上发现的关于通用机器的令人困惑的描述集中，并没有发现对此问题的任何关注。如果不是因为停顿问题，通用的图灵机在任何对角线论点中都有用吗？

最后，我对这进一步的部分感到困惑同一篇WP文章的另一篇文章说，哥德尔不完整的一种较弱形式来自于停顿问题：“无法实现所有关于自然数的陈述的完整，一致和合理的公理化”，其中“声音”应被削弱。我知道，如果一个理论不能得出矛盾，那么该理论是一致的，关于自然数的完整理论似乎意味着可以从中得出关于自然数的所有真实陈述。我知道哥德尔说这样的理论不存在，但是我看不到这样一个假设的野兽怎么可能听起来不对劲，即，也得出对自然数是错误的陈述：否定这样的陈述是正确的，因此从完整性上也可以导出，这会与一致性相矛盾。

我希望您能对其中之一进行澄清。

— 马克·范·吕文
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您有一个概念性问题：算法可判定性（Halting问题）和可导出性响应。可证明性（逻辑）是两个截然不同的概念；您似乎两者都使用“可确定性”。

— 拉斐尔

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@Raphael：我非常清楚，不完全性定理和暂停问题的不确定性之间存在很大的概念差异。但是，不完整的消极形式：功能强大的形式系统不能既一致又完整，却会转化为不确定性陈述：由于形式系统中可推导的定理集是构造可半确定的，因此完整性会使非-定理也可以半确定（定理的否定，假设一致，否则为空集），因此可以确定。

— Marc van Leeuwen 2012年

是的，的确，这两个证明在概念上极为相似，并且实际上看待它的一种方式是，戈德尔在算术上构造了一种图灵完备的逻辑。有很多书籍指出了这种概念上的对等。例如，哥德尔埃舍尔巴赫霍夫施塔特或皇帝新脑彭罗斯....

— VZN

有点相关...我总是不记得霍夫施塔特的抛物线，因为乌龟在解决暂停问题时，乌龟一直在打破阿喀琉斯的电唱机。实际上，我是通过（重新）搜索我的困惑来找到这个线程的。我仍然觉得抛物线更自然，更直接地转化为停顿问题，但这对任何一个定理都没有深入的了解。

— micans '18

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我建议您检查一下Scott Aaronson的博客文章，其中介绍了通过图灵机和Rosser定理证明不完全性定理的方法。他关于不完全性定理的证明非常简单，易于理解。

— 马科斯·维拉格拉
source

感谢您提供此链接，我现在就接受，因为它最接近我的担忧。起初我很不安：我误解了“完整”，意思是“每个真相都是可推导的”（与声音相反），而不是“如果不可推导，则是”（与一致相反）。斯科特·亚伦森（Scott Aaronson）似乎相信“完全”的含义对听众来说是显而易见的，尽管他似乎并没有假定逻辑学家为听众（我当然不是）。由于我的误解，他写的东西毫无意义。发现我的错误后，我发现帖子很有趣。

P

$P$

\neg P

$\lnot P$

— Marc van Leeuwen 2012年

1

在有关可计算性的章节中，《计算的本质》（amazon.com/gp/cdp/member-reviews/A2DGFHJVZ92HVI/…）一书中也有类似的证明。在那里，作者避免使用Rosser定理，而仅假设存在通用机器（即Church-Turing论文）。确切的参考是7.2.5节页238

— 马科斯维里亚格拉

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尼尔·克里希纳斯瓦米（Neel Krishnaswami）对停止问题的回答，无可争议的集合：通用的数学证明？ 在CSTheory上，指向在类别理论的保护下将上述结果联系起来的参考文献。

— 苏雷什
source

1

cstheory答案中未提及该论文（但在答案中Andrej Bauer的博客文章中对此进行了评论），但也可能是一个很好的概述。

— Artem Kaznatcheev 2012年

这是基于证明的相似性而不是结果之间的含义的联系，不是吗？

— 拉斐尔

1

嗯，Artem链接到本文的观点是，这些都是单一类别理论事实的体现。

— Suresh 2012年

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（这应该是对Suresh的回答的评论，但是太长了，无法适应该问题。因此，我提前道歉，它没有真正回答Marc的问题。）

我找到Neel的答案Halting问题，无可争议的集合：常见的数学证明？ CSTheory和Andrej Bauer在博客上发表的文章不令人满意，有两个原因。

首先，我们通常不需要所有类别理论的术语来解释这种联系。Cantor定理暗示了不确定语言的存在，该定理具有非常基本的对角线证明。原因是程序集等于。另一方面，由于每种语言都可以看作的子集，因此所有语言的集合都等于。根据Cantor定理，从到不会有任何斥责，因此我们知道必须存在一种不确定的语言。 $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$ $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ $\mathbb{N}$ $\mathcal{P}(\mathbb{N})$

其次，上述证明并不令人满意，因为我们也想“看到”一个合理的不确定语言的例子。可以将以上证明视为一个重要的论点，因此在这种意义上并不是真正的“建设性”。图灵就这样发现了停顿问题。

— 戴
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+1这是一种更简单的方法，但我仍然对此表示怀疑：“因此，我们知道必须存在一种不确定的语言。” 您能指定不确定语言和不确定问题之间的区别吗？

— Hernan_eche 2012年

1

@Hernan_e确实没有“差异”。可以将计算理论中的决策问题定义为中输入集上的任何是或否问题。因此，我们可以将每个决策问题分配给答案为是的输入集。集合是问题定义的语言。

x \in Σ^{*}

$x\in \Sigma^*$

P

$P$

L \subseteq Σ^{*}

$L\subseteq \Sigma^*$

L

$L$

P

$P$

— 戴

明白了，你很清楚，我同意计数论点并不完全令人满意，但是即使没有这个例子，我认为也许最糟糕的部分是是无限的，所以在那说并不奇怪是不确定的语言，可以很好地扩展（最好说是限制）有限情况的推理，（我不是想举一个不确定问题的例子），但是类似的证明（或反证明）对有限集有效输入的数量代替

L \subseteq Σ^{*}

$L\subseteq \Sigma^*$

N

$\mathbb{N}$

— Hernan_eche 2012年

但是对角线论证确实是一个建设性的证明。在简化为Cantor定理的过程中，无法确定的语言是所有编码均未使用其接受的语言的机器的集合。

— Willard Zhan

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通用图灵机对于某些对角线参数非常有用，例如在时间或空间复杂性层次结构中的某些类的分离中：通用机用于证明但不在。（可以在WP文章中找到更好的界限） $\mbox{DTIME}(f(n)^3)$ $\mbox{DTIME}(f(n/2))$

但是，老实说，如果您仔细观察，通用机器不会在“负”部分使用：证明假设存在一台机器，它可以解决限时版本的停止问题，然后继续构建。（此处没有通用机器）通用机器用于在更长时间内解决暂停问题的限时版本。 $K$ $¬KK$

— 疯狂
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对于足够恒定的f（n）。

— Yonatan N

0

“如果不是因为停顿问题，通用的图灵机对角线是否有用？”

赖斯定理实质上是对图灵机对角化的推广。它表明，只有一个算法可以为所有图灵机决定的图灵机绝对没有任何属性，除非该属性对所有图灵机都适用，或者不包含任何图灵机。请注意，所有图灵机或没有图灵机的财产拥有权都会阻止对角化对象成为图灵机，因此，它首先不能与对财产的决定相抵触。确实，这是唯一的阻止对角化对象出现在列表中并与该属性的决定相矛盾的事情，这是图灵机的所有属性都是不确定的。对角化对象的这种模式需要成为您要做出决定但又否定该决定的事物列表的成员，这是Lawvere定理（在Suresh答案的链接中引用）捕获的关键抽象。为了充分概括对角化的概念。现在，由于我们已经从经验中了解到，几乎每个对角化似乎都具有导致在数学逻辑中产生极其重要结果的共同特性，因此使Lawvere定理成为非常有趣的工具。

— 笨拙的
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