具有XOR关系的NP 2-SAT是否完整？

我想知道是否存在针对“具有XOR关系的2-SAT”的多项式算法。2-SAT和XOR-SAT都在P中，但是它的组合吗？

输入示例：

• 2-SAT部分： (a or !b) and (b or c) and (b or d)

• XOR部分： (a xor b xor c xor 1) and (b xor c xor d)

换句话说，输入是以下布尔公式：

示例输出：满意：a = 1，b = 1，c = 0，d = 0。

输入中的2-SAT子句数量和XOR子句数量均为，其中是布尔变量的数量。$O(n)$$n$

通过减少3-SAT可以证明带有XOR关系的2-SAT具有NP完全性。可以将任何3-SAT子句重写为等式2-SAT-with-XOR-relations表达式其中和为新变量。

您还没有指定您的XOR关系的元数，但像往常一样SAT到3SAT减少，可以随时安排自己的元数至多为3.现在你是在伟大的位置，应用Schaefer的二分法定理，这将告诉您问题是P还是NP完全（这是仅有的两个选择）。如果结果在P中，则下一步可能是看Allender等人。，这会让您知道问题有多容易。

根据Schaefer的二分法定理，这是NP完全的。

考虑所有子句中包含2或3个文字的情况；那么我们可以将其视为对偶数为3的一组的约束满足问题。特别是，关系如下：，，，，。$\Gamma$$R(x,y,z)$$x \lor y$$x \lor \neg y$$\neg x \lor \neg y$$x \oplus y \oplus z$$x \oplus y \oplus \neg z$

现在以现代形式应用舍弗二分法定理。检查六个操作中的每一个，以查看它们是否是多态的：

• 一元0：不是的多态性。$x \lor y$
• 一元1：不是的多态性。$\neg x \lor \neg y$
• 二进制AND：不是的多态性。（考虑和；它们都满足关系，但它们的逐点与不满足。）$x \lor y$$(0,1,0)$$(1,0,0)$$(0,0,0)$
• 二进制OR：不是的多态性。（考虑和；它们满足关系，但不满足。）$\neg x \lor \neg y$$(0,1,0)$$(1,0,0)$$(1,1,0)$
• 三元多数：不是的多态性。（考虑和和；它们满足关系，但多数不满足。）$x \oplus y \oplus z$$(0,0,1)$$(0,1,0)$$(1,0,0)$$(0,0,0)$
• 三元少数：不是的多态性。（考虑，和；它们满足关系，但少数不满足。）（0 ，1 ，0 ）（1 ，0 ，0 ）（1 ，1 ，0 $x \lor y$$(0,1,0)$$(1,0,0)$$(1,1,0)$$(0,0,0)$

因此，即使您限制所有XOR子句的长度最多为3，此问题也是NP完全的。

另一方面，如果将所有XOR子句的长度限制为最大为2，则此长度为P。特别是等效于，因此任何这样的公式都等效于2SAT公式，其满足度可以在多项式时间内确定。（X ∨ Ý ）∧ （¬ X ∨ ¬ ÿ $(x \oplus y)$$(x \lor y) \land (\neg x \lor \neg y)$