Mandelbrot集在什么意义上是“可计算的”？

该Mandelbrot集是在数学美丽的生物。

此设置有很多精美的高精度图像，因此在某种意义上显然该设置是“可计算的”。

但是，令我担心的事实是，它甚至无法递归枚举-仅因为该集合不可数。这可以通过要求点的某种有限表示来解决。

此外，尽管我们确定知道很多点属于该集合，而其他点不属于该集合，但是还有许多我们不知道其集合中的成员身份。到目前为止，我们所看到的所有图像都可能包含很多“绑定了n次迭代”的点，但是这些点实际上可能不属于该集合。

因此，对于具有有限表示形式的给定点，问题“此点是否属于集合？” 如果我是对的，还没有被证明是可以判定的。

现在，从什么意义上（通过哪种定义）我们可以说曼德尔布罗特集是“可计算的”？

有几种方法可以定义Mandelbrot集可计算的含义。一种定义可能是Blum–Shub–Smale模型。在此模型中，实际计算是由类似于RAM机器的机器建模的，该机器对实数的访问仅限于基本算术和比较。Blum和Smale表明，在该模型中Mandelbrot集是不可计算的，尽管可以使用绘制它们的传统算法来递归枚举其补集。

另一个模型是可计算分析，其中Mandelbrot集可能是可计算的，如Hertling所示（条件是普遍认为的猜想，即双曲猜想）。在此模型中，计算Mandelbrot集意味着能够在任何期望的精度内计算Mandelbrot集的近似值（有关确切定义，请参见可计算分析的参考）。

那么，为什么计算机似乎能够绘制Mandelbrot集呢？证明传统算法有效的主要困难在于，在我们确定该点属于该集合之前，很难预先知道要运行多少次迭代。Hertling表明，如果人们普遍相信双曲猜想成立，那么就存在一个合理的约束。大概，程序只是等待了足够长的时间。否则他们等待的时间不够长，而只得到错误分数的一小部分。

基本上，Mandelbrot集是不可计算的（据我们所知）。您看到图像的事实并不意味着它是可计算的。这些图像是使用近似值进行计算的：如果该过程的运行时间超过设置的阈值（作为启发式方法），则代码将假定该过程永远不会终止。这种启发式方法可能是错误的，结果这些图像可能不是100％准确的。换句话说，这些图片不是Mandelbrot集的图像。它们是Mandelbrot集的近似值。