小步操作语义与大步操作语义之间的区别

小步操作语义与大步操作语义之间的根本区别是什么？

我很难理解它的含义和两者的动机。

小步语义定义了一种在一个计算步骤中一次评估表达式的方法。从形式上来说，表达语言的一个小步语义是一个关系称为归约关系。小步语义详细描述了表达式所发生的事情。它可以给出无限链的精确描述，甚至是非终止程序。终止程序是这样的程序，即以值终止，使得终止。 \ newcommand {\ llbracket} {[\！[} \ newcommand {\ rrbracket} {] \！]}$E$$\rightarrow : E \times E$$e_0 \to e_1 \to e_2 \to \dots$$e_0 \to e_1 \to \dots \to v$ $v$$\forall e' \in E, v \not\rightarrow e'$$\newcommand{\llbracket}{[\![} \newcommand{\rrbracket}{]\!]}$

在另一端是指称语义。指称语义为每个表达式分配一个“含义”。它是一个从表达式到的函数：（称为域）。表示符号的空间可能与语法空间完全无关，例如可以是计算为数字的表达式，可以是一组数字，例如或。$\llbracket \cdot \rrbracket : E \to D$$D$$E$$D$$\mathbb{N}$$\mathbb{R}$

大步语义在中间。表达式语言和一组值上的一大步语义是关系。它将表达式与它的值相关（如果语言是不确定的，则可能有多个值）。通常，特殊值用于非终止表达式。$E$$V$$\Downarrow : E \times V$$\bot$

那么为什么我们有这三个概念呢？所有这些概念都可以相互建模，但是模型增加了一定程度的复杂性。

• 给定一个小的步语义，可以定义相应的大步骤语义涉及每个表达式到其值（或值时，如果减少是非确定性的）：当且仅当存在一个链和不能再减小。请注意，通常您无法从大步语义中重建小步语义。例如，在大步语义下，所有非终止表达式都是无法区分的。$\to$$e \Downarrow v$$e \to e_1 \to \dots \to v$$v$
• 给定一个大步语义，可以说这是上的一个小步语义。这不是特别有用。$\Downarrow : E \times V$$E \cup V$
• 给定一个小步语义，您可以定义一个对应的指称语义，其中表达式的表示是从其开始的约简链集合。这满足了形式上的定义，但并不是特别有用，因为它给对象增加了一组理论上的开销，而这些对象更容易通过直接查看语法来进行推理。$\to$
• 给定一种指称语义，您可以通过将所有可能的符号添加为语言中的值来定义小步语义。这要求创建的值不是程序员可以编写的语法的一部分，这意味着一些有趣的结果必须声明“对于程序员可以编写的所有程序”，而不是“对于所有程序”。因此，这也不是很有用。$\llbracket \cdot \rrbracket$
• 给定大步语义，您可以定义相应的指称语义，其中域是值的集合集：。如果大步语义是确定性的（每个表达式都简化为一个值），则可以定义更简单的指称语义，其中域是值的集合。$\Downarrow$$\llbracket e \rrbracket = \{v \mid e \Downarrow v\}$
• 相反，给定语义，您可以定义大步长语义。同样，这一点是没有意义的。$\llbracket \cdot \rrbracket$$E \Downarrow \llbracket \cdot \rrbracket$

从操作上来说，小步语义相当于查看解释器针对该语言执行的每个操作。大步语义只看结果值。指称语义是一种数学解释，它可能与计算机上发生的事情有关，也可能没有关系。

小步语义是最明显的一种。显然，它提供了有关非终止程序的有用信息。更一般而言，它提供有关程序行为的详细信息。

指称语义将句法构造转换为任意数学对象；它可以表达科学家想要的任何内容（您可以将表达式的定义定义为表达式中所有可能的归约链），但要付出一定程度的复杂性。当我们确实想抽象一些细节（例如精确计算表达式的方式）时使用它。

大步语义在中间：它抽象了评估的细节，但保留了结果的句法性质。通常，当存在底层的小步语义时，使用该概念，以简洁地表示“以“ ”的形式。在这样的结构中，尽管概念非常不同（一个概念使我们可以谈论各个计算步骤和非终止程序，而另一个则不能），但是定义看起来非常相似，因为在这种情况下，定义大步语义基本上具有以下形式：“如果和…以及和$\exists (e_1, \dots, e_n), e \to e_1 \to \dots e_n \text{ and } \not\exists e', e_n \to e'$$e \Downarrow e_n$$e_1 \to^* e_2$$e_n \to^* v$$v$是一个值，然后是 ”。$e_1 \Downarrow v$