复杂性理论难以检查的价值

该质数计算函数，降级，小于定义为质数的数目或等于。$\pi(x)$$x$

我们可以从定义一个决策问题，如下所示：$\pi(x)$

给定两个用二进制写的数字和，确定。Ñ π （X ）= $x$$n$$\pi(x) = n$

我和一个朋友今天早些时候在谈论这个问题。有一个针对这个问题的伪多项式时间算法-只需将计数，在每一步使用试验除法即可查看有多少个质数，并检查其是否等于。问题也存在于PSPACE中，因为我刚刚描述的算法可以实现为仅使用多项式辅助空间。$x$$n$

但是，我很难找到一种方法来将这个问题放入较低复杂度的类中。我看不到如何为该问题构建多项式时间验证程序，因此我不确定它是否在NP中，也根本无法考虑将其纳入多项式层次结构的方法。

最适合此问题的复杂度类别是什么？

谢谢！

这在很大程度上是一个开放的问题。我将概述一些可以“自然”解决问题的类。

您的定义很难使用，这个问题很难适合任何现有的复杂性类。您定义的语言是和。因此，例如，如果在类则将在。这使得很难描述您定义的语言，因为必须指出“语言与语言的 ”才能给出最严格的界限。{ （X ，Ñ ）| π （X ）≥ Ñ } { （X ，Ñ ）| π （X ）≤ Ñ } ķ { （X ，Ñ ）| π （X ）≥ Ñ } Ç Ò ķ $\{(x,n)|\pi(x)\leq n\}$$\{(x,n)|\pi(x)\geq n\}$$\{(x,n)|\pi(x)\leq n\}$$K$$\{(x,n)|\pi(x)\geq n\}$$coK$$K$$coK$

问题“计算 ”是在一个问题＃P，其中＃P ⊆ ˚F P 小号P 甲Ç é是类的形式“计算的非确定性，多项式TM的接受路径的数量”的问题。显然，我们可以构造一个不确定性是TM猜一个数q ≤ X，然后（与AKS）测试是否q是素数。$\pi(X)$$\#P$$\#P\subseteq FPSPACE$$q \leq x$$q$

的决定变种是P P，这是类中的一些形式的语言：“鉴于非确定性多项式TM，做至少有一半的计算路径接受吗？”。两者{ （x ，n ）| π （X ）≤ Ñ }和{ （X ，Ñ ）| π （X ）≥ Ñ }可能是还原成中的问题P $\#P$$PP$$\{(x,n)|\pi(x)\leq n\}$$\{(x,n)|\pi(x)\geq n\}$$PP$ （通过对上述TM进行一些伪造，以平衡接受路径的数量）。

你的问题在C = P$_=$ 通过算法$\hspace{-0.06 in}\text{,}$

$\;\;\;$非确定性地猜测整数，使得$\big[$m和一点$\: 0\leq m < 2^{\lceil \hspace{.02 in}\log_{\hspace{.02 in}2}\hspace{-0.02 in}(x+1)\rceil}\big]$b
$\;\;\;$如果x < m然后拒绝
$\;\;\;$如果是b=1这样：
$\;\;\;\;\;$如果m < n然后接受否则拒绝
$\;\;\;$ 其他：
$\;\;\;\;\;$如果m 是素数则接受否则拒绝

。


特别是您的问题也在于PP，因为PP在真值表约简下被关闭。

实际上，您可能会更快或更慢地得到答案：-(

π（x）有相当好的近似值。因此，您可以计算出这样的近似值，如果距离太远，您会知道π（x）≠n。例如，如果n≥x，那么我知道π（x）≠n而不计算任何东西。

有一种快速算法可以确定π（x）是偶数还是奇数，以O（x ^（1/2））运行。您可以运行此算法，并且它可能会检测到n的奇偶校验错误并完成。如果n是接近π（x）的随机整数，则机会为50。

除此之外，我不知道有什么方法比计算π（x）更快。这非常不方便-如果我编写了一个应该计算π（10 ^ 25）的程序，但是得到的结果显然不是错误的，那么除了重复执行该操作外，没有其他方法可以检查我的结果是否正确计算。而且，您不能只使用我的程序重复计算，而是需要编写一个不同的程序，否则您将无法检测到我的程序是否存在使它计算的函数与π（x）略有不同的错误。

可以很容易地以大约O（n ^（2/3））计算π（x），并且通过一些非常深的数学运算可以更快地计算出。