使用唯一元素编辑列表的距离

列表之间的Levenshtein-Distance编辑距离是一个经过充分研究的问题。但是如果知道每个列表中没有元素出现超过一次，我在可能的改进上找不到很多东西。

我们还假设元素是可比较的/可排序的（但是要比较的列表并不是从头开始排序的）。

$O(\min(m,n)s)$ $O(\min(s,m,n)s)$ $s$

更正式地说，

我们如何有效地计算两个给定字符串之间的编辑距离 $s,t \in \Sigma^*$ ，并保证它们没有重复的字母？

$\Sigma$ 是一个非常大的字母。

— 用户名
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您现在的问题是什么？如何加快成对编辑距离，或如何加快计算字符串列表的所有成对距离？

— 拉斐尔

我怀疑的问题是：如何计算之间的编辑距离，其中超过一些非常大的字母串，并且我们保证不信出现两次或在（OP将每个字符串表示为字母列表，即元素列表）。但这需要确认。

s, t

$s,t$

s, t \in Σ^{*}

$s,t \in \Sigma^*$

Σ

$\Sigma$

s

$s$

t

$t$

— DW

是的，在这种情况下，大字母由数据库索引组成，“字符串” s和t是包含这些索引的列表。

— user362178 2015年

对于那些想了解复杂性的人：和是输入字符串的长度，而是实际的编辑距离，因此它包含在复杂性中。每次编辑的费用被认为是1，但与计算该距离（编辑数）可能无关紧要。

m

$m$

n

$n$

s

$s$

s

$s$

— 艾伯特·亨德里克斯

TL; DR：当两个字符串（甚至只有一个）都具有唯一字符时，可以在线性运算时间内计算出一种限制更严格的编辑距离，在该距离中，我们只能插入和删除单个字符。这样可以在Levenshtein编辑距离上提供有用的上限和下限。

插入/删除编辑距离和最长的公共子序列

Levenshtein编辑距离允许单字符插入，删除和替换，将每个字符分配为1的成本。如果我们仅限制插入和删除，我们将得到一个类似的距离度量，现在导致替换的成本为2（因为任何替换都可以（通过插入和删除进行模仿）。我不知道这种限制更严格的编辑距离的标准名称，因此我将其称为“插入/删除编辑距离”。它与最长公共子序列（LCS）问题密切相关，在该问题中，我们给了两个分别为长度和字符串，并且想知道两个字符串中出现的最长子序列的长度。 如果两个字符串具有LCS $m$ $n$ $L$ ，那么它们的插入/删除编辑距离为 $n+m-2L$ ：最简单的方法是对齐字符串，以使LCS中的字符堆叠在一起，而LCS中不存在的字符则与-间隙相对字符。显然，我们可以通过在第一行中的第一个插入处和第二-行中的一个删除处将第一个字符串编辑为第二个字符串-。例如：

-C-IRC-LE
T-RI-CKLE

这里的LCS CIRCLE和TRICKLE，ICLE具有长度为4，并且所述编辑距离确实是。 $6+7-2*4=5$

最长的递增子序列

绕道的原因是，当至少一个序列仅包含不同的字符时，有一种非常有效的方法来计算LCS（因此，插入/删除编辑距离）：在这种情况下，LCS问题可以转化为找到最长的递增子序列的问题，可以在时间。假设我们给了两个字符串和，而字符串具有不同的字符。我们可以将的第一个字符重命名为1，将第二个字符重命名为2，依此类推，以跟踪我们为表中的每个字符分配的编号。然后在 $O(n \log n)$ $A$ $B$ $A$ $A$ $B$ ，我们使用此表重命名其字符（即，每次出现的第一个字符A都会更改为1等）。最后，我们在中寻找最长的递增子序列B。这对应于A和之间的LCS B，从那里我们可以立即计算出插入/删除编辑距离。如果和长度分别为和，则所需的总时间仅为。 $O(n + m\log m)$ $A$ $B$ $n$ $m$

Levenshtein上的边界编辑距离

插入/删除距离显然为Levenshtein距离提供了一个上限（因为在插入/删除距离下的任何有效编辑操作序列也是Levenshtein编辑操作的有效序列）。将插入/删除编辑距离除以2也会得到一个下界，因为在最坏的情况下，任何Levenshtein编辑操作都可以更改为2个插入/删除编辑操作。

概论

早在1977年，Hunt和Szymanski提出了一种算法，该算法可以看作是最长的递增子序列算法的推广。每当两个字符串之间的匹配字符位置对的数量很少时，此方法将非常有效。如果存在这样的对，则它们的算法将花费时间。（请注意，如果一个字符串中的所有字符都不同，则。）此算法是原始程序的基础，该程序将整个文本行视为单个字符。后来切换到使用Myers的 -time算法，其中 $r$ $O((r + n)\log n)$ $r \le n$ diffdiff $O(nd)$ $d$ 是插入/删除编辑距离，因为当整体差异较小但某些“字符”（文本行）频繁出现（例如，在C程序代码中仅包含一个大括号的行）时，此效果会更好。

亨特，J。Szymanski，T.（1977），“一种计算最长公共子序列的快速算法”，ACM通信，20（5）：350-353，doi：10.1145 / 359581.359603

— j_random_hacker
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