空语上的Kleene star操作

在我的教科书中提到：其中是一种空语言。 $\emptyset^*=\{\epsilon\}$ $\emptyset$

但是，我们知道，其中是任何语言。 $L \cdot \emptyset = \emptyset$ $L$

我无法直观地理解这个概念，因为Kleene星操作指向的事实。 $\emptyset^*=\emptyset^0 \cup \emptyset^1 \cup \emptyset^2 \cup \cdots$

那么为什么不等于呢？ $\emptyset^*$ $\emptyset$

formal-languages kleene-star

— 萨格尼克
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看到这个答案。基本上，对于任何非空集，为了公式一致性，。这被扩展到作为更自然的扩展的情况。这是半环中的通常选择。其余的取自克莱恩星的定义。

W

$W$

W^{0} = \emptyset

$W^0=\emptyset$

W^{x} W^{y} = W^{x + y}

$W^xW^y=W^{x+y}$

W = \emptyset

$W=\emptyset$

— babou 2015年

但是，对于数字，仍然是未定义的，主要是因为我记得它的连续性问题，尽管将其定义为通常可能很方便。看到

0^{0}

$0^0$

1

$1$

0^{0}

$0^0$

— babou 2015年

简而言之，因为根据定义，所有。

ε \in L^{0} = {ε}

$\varepsilon \in L^0 = \{\varepsilon\}$ $L$

— 拉斐尔

@Raphael是的。您可以这样说。但是，当时，它是任意的。我可能应该用不同的方式写答案。我尽力解释。

L = \emptyset

$L=\emptyset$

— 2015年

@babou最后，每个定义都是任意的。有些定义很有用，有些则没有用。Imho试图在定义中找到基本的直觉，因为这很少有帮助，有时甚至是有害的。

— 拉斐尔

Answers:

如果现在考虑一种语言的幂，则如果要在上保持一致，即非负整数，则必须定义。如果你把它是你将不得不包括，除其他外， $W$ $W^xW^y=W^{x+y}$ $\mathbb N_0$ $W^0=\{\epsilon\}$ $\emptyset$ $W^x=W^{x+0}=W^xW^0=W^x\emptyset=\emptyset$ 。因此，对于任何我们都有。因此，这显然是不一致的。除了以外的任何其他选择都会出现类似的不一致，这是语言串联的身份。 $x=1$ $W^1=W=\emptyset$ $W$ $\{\epsilon\}$

因此，唯一的一致一致的定义用于非空集是。 $W^0$ $W$ $W^0=\{\epsilon\}$

它是那么方便的定义延伸至壳体时如。 $W=\emptyset$ $\emptyset^0=\{\epsilon\}$

这只是一个一致且方便的定义，通常在半环中采用，但无法证明，与情况不同，后者没有其他一致的定义。 $W\neq\emptyset$

但是，随后必须以一致的方式给出其他定义，这意味着

\begin{aligned} \emptyset^{*} & = \emptyset^{0} \cup \emptyset^{1} \cup \emptyset^{2} \cup \dots \\ = {ϵ} \cup \emptyset \cup \emptyset \cup \dots \\ = {ϵ} \end{aligned}

$\begin{align} \emptyset^*&=\emptyset^0\cup\emptyset^1\cup\emptyset^2\cup\ldots \\ &=\{\epsilon\}\cup\emptyset\cup\emptyset\cup\ldots\\ &=\{\epsilon\} \end{align}$

在许多网页上都讨论了该主题。对于数字的半圆环（故意缺乏精度），将在本页详细讨论：零到零次幂-是吗？ $0^0=1$ 。

该答案描述了语言的半圆环。

— 巴布
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这个答案消除了我所有的疑问。并且链接非常好。

— 萨尼克2015年

从零个字的级联是空字，所以。更一般地，对于语言，Kleene星号由任意数量从字的所有级联，任何数量的包括零个字。 $\emptyset$ $\epsilon$ $\epsilon \in \emptyset^*$ $L$ $L^*$ $L$

— Yuval Filmus
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我一直在寻找一种更数学的解释，因为我无法直观地理解“零字串联”的概念。但是，在阅读了@babou的答案和这个答案之后，我所有的疑虑都消除了。谢谢。

— 萨尼克2015年

“ ...对于一种语言L，Kleene星号L *由L中任意数量的单词组成的所有串联，包括零个单词在内的任意数量”在这里，零个单词如何暗示eplison？epsilon是一个单词，那么我们怎么说包含epsilon的单词数量为零？请纠正我。

— Palak Jain

零字的连接是连接的中性元素，即空字。同样，零元素的总和为零，零元素的乘积为一，零集的并集为空集，依此类推。

— Yuval Filmus