排序（排序）5个元素所需的比较次数最少

找到排序（排序）五个元素所需的最少数量的比较，并设计一种算法，使用该数量的比较对这些元素进行排序。

解决方案：有5个！= 120个可能的结果。因此，用于排序过程的二叉树将至少具有7个级别。事实上， ≥120意味着≥7.但7比较是不够的。排序（排序）五个元素所需的最少比较次数是8。$2^h$$h$

这是我的实际问题：我确实找到了可以在8次比较中完成的算法，但是如何证明在7次比较中无法完成？

解决方法是错误的。Demuth [1; 通过2秒 [5.3.1]显示仅使用七个比较就可以对五个值进行排序，即在这种情况下，“信息理论”的下限很严格。

答案是适合的方法，而不是通用算法。这也不是很好。这是大纲：$n=5$

1. 排序前两对。

2. 订购这两个对各自的较大元素。

   称结果为 ; 我们知道和。$[a,b,c,d,e]$$a<b<d$$c<d$

3. 将插入。$e$$[a,b,d]$

4. 将插入到步骤3的结果中。$c$

第一步显然需要进行两次比较，第二步只有一次。最后两个步骤各进行两次比较；在这两种情况下，我们都将其插入三元素列表中（对于第4步，请注意，从中我们知道小于当前列表的最后一个元素），然后首先与中间元素进行比较。总共进行了七个比较。$c<d$$c$

由于我看不到如何编写“好的”伪代码，因此请参见此处以了解经过测试的（希望是可读的）实现。

1. 博士 HB Demuth撰写的论文（斯坦福大学）（1956年）

   另请参阅HB Demuth的电子数据排序（1985）

2. Donald E. Knuth的分类和搜索；计算机编程艺术卷。3（第2版，1998年）

基于比较的排序的理论下限是。也就是说，仅使用或比较对项目进行排序，至少需要以2为底的对数，因此操作。$\log(n!)$$n$$<$$>$$n!$$\log(5!) \approx 6.91$

由于和，因此使用二元决策树可以对7个比较中的5个项目进行排序。该树会准确地找出您拥有的120个排列中的哪个，然后进行排序所需的交换。$5!= 120$$2^7= 128$

它不是漂亮的代码，也不是简短的代码，您可能应该使用代码生成方法来创建决策树并进行交换，而不是手工编码，但是它可以工作。并证明可以对5个项目进行任何可能的排列，从而证明您最多可以对7个比较中的5个项目进行排序。

我在想快速排序。您选择恰好是中间元素的元素作为枢轴。将枢轴与剩余的4个项目进行比较，得出两堆要排序的项目。这些堆中的每一个都可以按1个比较进行排序。除非我犯了一个严重的错误，否则5个项目仅在6个比较中就被完全排序了，我认为这是完成这项工作所需的绝对最少的比较。最初的问题是找到排序5个元素最少的比较。

如果可以测试算法，请在所有数字组合上对其进行测试。如果您有很多数字，请测试许多随机组合。不精确，但是比所有组合都快。

最小
a <b <c = 2
a <b <c <d = 3
a <b <c <d <e = 4

最多
3 ^ 3
4 ^ 4
5 ^ 5

插入中间使用3-6表示4个数字。
将4-5合并为4个数字。
通过Wiki进行的最小比较是4个数字等于5 ：） 5等于7。您使用8还是那么多。
https://en.wikipedia.org/wiki/Comparison_sort#Number_of_comparisons_required_to_sort_a_list
如果您在比较之前就了解所有内容，则可以进行比较。我的4个数字的平均值是3.96 / 1024所有组合。