在度量空间点集中找到小于

我在度量空间中定义了一组个点，因此我可以测量点之间的“距离”，而没有别的。我想在此集合中找到最中心的点，将其定义为与所有其他点的距离总和最小的点。度量计算很慢，因此需要尽可能避免。 $n$

查找该点的明显方法是使用公制距离计算，因为它简单地（a）为每个点计算到所有其他点的距离之和，然后（b）取最小点。 $n^2$

有没有办法在少于距离比较中做到这一点？（可能以某种方式利用三角不等式，这应该适用于我的指标。） $O(n^2)$

如果不存在确切的方法，则一个良好的近似值可能就足够了。

— 开门物流
source

如果没有三角形不等式（或其他获取未测边的信息的其他方式），则

是唯一的解决方案。这可以通过反对派的论点看出。

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Kittsil 2015年

假设三角形不等式可用-应该用于我的指标。

— Open Door Logistics

这实际上是在计算具有三角等式的图的无线电。

— 卡夫

@Kaveh我猜你的意思是半径...除非图形有断边。我正在确认有太多我不知道的词汇。---但这是一个完整的图，输入大小仅为顶点数。

— 2015年

@OpenDoorLogistics如果没有三角形不等式，按定义，它不是度量空间。请阐明问题：如果您知道它是一个度量空间，那么您知道它具有三角形不等式；如果您不知道它具有三角形不等式，则不能声称它是一个度量空间。

— David Richerby，2015年

Answers:

$\Theta(n^2)$

$1$ $0.9$ $1.0$ $1.1$

$\mathbb{R}^d$ $O((d+1)n)$ $d+1$

$d+1$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $O(n^2)$

— DW
source

n

$n$

n - 1

$n-1$

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

n

$n$

@DW谢谢-但是在一般情况下我们还能做得更好吗？这是由一个实际问题引起的，因此数据可能是“平均”的（无论这意味着什么）。

— Open Door Logistics

@all-对于混淆re：metric表示歉意（我是理论CS中的外行）。根据Wikipedia对度量空间链接的定义，我的distance函数绝对遵循度量空间的4条标准。

— 2015年

@OpenDoorLogistics，我添加了一种特殊情况，似乎可以做得更好。

— DW

查看Piotr Indyk关于度量空间的快速算法的工作。（度量空间问题的子线性算法，在STOC '99上，第428–434页。ACM，1999；PS）第3节给出了线性时间近似1中值算法。

— 用户名
source

您能否概述一下该算法？理想情况下，我们正在寻找完整的答案，而不是指向外部内容的链接。

— 大卫·里希比

很抱歉回复很慢。我显然不经常检查StackExchange。我认为写一个中庸的摘要将花费我一个多小时，而Piotr的论文写得很漂亮，非常清晰地解释了该算法，并且旁边有所有精确的定义。因此，我个人强烈建议您使用这种高质量的外部内容，而不是我可以生成的中等质量的内部内容。简短的答案是：如果您只想找到一个近似中值，则可以在线性时间O（n）中进行。

— user71641