您如何确定Welch-Berlekamp算法中的错误数量？

在用于解码Reed-Solomon码的Welch-Berlekamp算法中，给出了一个点列表，该点$(a_i, b_i)$表示未知位置b i上有$e$错误的消息（并且将e赋给该算法）。输出是通过所有给定点（发生错误的点除外）的多项式。$b_i$$e$

该方法涉及求解形式为的线性方程组

所有$i$这里$E$有度$e$和$Q$具有至多度$e+k$。变量是$E$和的系数$Q$。

为了确保$E$具有度$e$通常会在上述线性系统中加上的系数$x^e$为1 的约束。但是，实际上并不一定知道$e$。一个低效的（但仍多项式时间）的方式来解决这个问题是尝试$e$所有值开始$(n+k-1)/2 - 1$，直到找到一个解下去。

我的问题是：确定方法是否更有效$e$？或者，是否对线性系统进行了修改，以允许使用的上限$e$而不是精确值？

特别是我想将此特定的解码器用于Reed-Solomon码，而不是基于其他技术的完全不同的算法。

为了回应DW的回答，这是我的工作示例。一切都以7为模。

plain message is: [2, 3, 2]
polynomial is: 2 + 3 t^1 + 2 t^2
encoded message is: [[0, 2], [1, 0], [2, 2], [3, 1], [4, 4]]
corrupted message is: [[0, 2], [1, 0], [2, 3], [3, 1], [4, 4]]

因此，错误在于第三点。

当$e=2$的多项式方程为

和堵塞在给出了在矩阵形式的系统：$x = 0,1,2,3,4$

[2, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 6, 6, 6, 6, 6, 0]
[3, 6, 5, 6, 5, 3, 6, 5, 0]
[1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 0]
[4, 2, 1, 6, 3, 5, 6, 3, 0]
[0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1]

最后一行是的约束。应用高斯消去，我们得到$e_2 = 1$

[1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 4, 0]
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 3, 3, 1]
[0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1]
[0, 0, 0, 1, 0, 0, 2, 1, 0]
[0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 2, 5]
[0, 0, 0, 0, 0, 1, 4, 5, 2]

并为两个自由变量选择1，我们得到一个解向量

[2, 2, 1, 4, 1, 0, 1, 1]

转化为

E is 2 + 2 t^1 + 1 t^2
Q is 4 + 1 t^1 + 0 t^2 + 1 t^3 + 1 t^4

而不分Q。注意Q因子为$E$$Q$$Q$$(t + 6) (t^3 + 2t^2 + 2t + 3) \mod 7$

对于我得到了一个很好的解决方案：$e=1$

system is:    
[2, 0, 6, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 6, 6, 6, 6, 0]
[3, 6, 6, 5, 3, 6, 0]
[1, 3, 6, 4, 5, 1, 0]
[4, 2, 6, 3, 5, 6, 0] 
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 1]

reduced system is:

[1, 0, 0, 0, 0, 0, 5]
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 1]
[0, 0, 1, 0, 0, 0, 3]
[0, 0, 0, 1, 0, 0, 3]
[0, 0, 0, 0, 1, 0, 6]
[0, 0, 0, 0, 0, 1, 2]

solution is [5, 1, 3, 3, 6, 2]
Q is 3 + 3 t^1 + 6 t^2 + 2 t^3
E is 5 + 1 t^1
P(x) = 2 + 3 t^1 + 2 t^2 # this is correct!
r(x) = 0

请注意，虽然上面的反例是由我从头开始编写的代码生成的（基本上是我尝试的第一件事），但可以手动检查解决方案是否有效，因此即使我的代码有错误，它仍然是声明的有效反例。使用可行的。$e=2$

实际上，相同的过程可以纠正任何数量的错误，直到为止。$e$

a i$E(x)$$a_i$$E(x)$$e$

因此，如果是错误数量的上限，则将存在一个具有所有所需属性的多项式（即，度数恰好为并且在出现错误的每个点均为零）。例如，如果错误少于，则存在一个多项式，在每个错误处为零，在更多点处为零，以使零的个数精确到。E （x ）e e E （x ）$e$$E(x)$$e$$e$$E(x)$$e$

最后，正确性定理说，如果存在这样的多项式，那么Berlekamp-Welch算法将能够找到它。因此，即使错误少于 ，该过程仍然可以正确识别。一旦有了，您就可以确定没有错误的位置，然后可以以一种直接的方式进行解码。e E （x ）E （x ）n - $E(x)$$e$$E(x)$$E(x)$$n-e$

要记录有关问题中“ counterexample”的对话结果，请执行以下操作：

这实际上不是有效的反例。缺陷在于您希望Berlekamp-Welch能够纠正多少错误。该距离为，因此您应该期望它能够纠正多达错误（如Ran G.所指出的）。在您的反例中，和，所以，因此您应该只希望此过程能够纠正一个错误，即。因此，当您在具有的示例上运行该过程时，没有理由期望该过程可以正常工作。（n − k ）/ 2 n = 5 k = 3 （n − k ）/ 2 = 1 e = 1 e = $n-k+1$$(n-k)/2$$n=5$$k=3$$(n-k)/2=1$$e=1$$e=2$

因此，反例实际上不是反例，并且与我上面的回答并不矛盾。