是否存在易于计算但难以验证的问题？

假设P NP，则NP完全问题“很难解决，但答案易于检查”。考虑相反的情况是否有意义，也就是说，对于这些问题而言，很容易计算出正确的答案，而很难验证任意一个所谓的解决方案？ $\neq$

我认为这样的问题暗示：

complexity-theory

— 病毒
source

我对此表示怀疑。如果答案很容易计算，那么证书的选择就很容易：为问题提供所声称的答案，并通过解决问题来“检查”答案，并查看所提出的答案是否实际上是答案。

— Patrick87'9

@ Patrick87-我想我在问题中解决了这个问题。将一组值

与输入

关联的多值函数

呢？假设

，而且它很容易从挑一个元素

，但考虑到

很难确定是否

f

$f$

I_{f} (x) = {y_{1}, y_{2}, \dots}

$I_f(x) = \{y_1, y_2, \dots \}$

x

$x$

| I_{f} (x) | = 2^{| x |}

$|I_f(x)| = 2^{|x|}$

I_{f} (x)

$I_f(x)$

z

$z$

。

z \in I_{f} (x)

$z \in I_f(x)$

— rphv 2012年

@ Patrick87求解器可以是确定性的，只输出一个所有现有的答案。然后，您需要一种有效的方法来检查两个解决方案是否等效。集合上的等效性难于解决集合上的问题吗？

— 拉斐尔

我实际上错过了那部分，对不起。不过，我倾向于怀疑这一前提。我会再考虑一下，如果有更多相关想法，请回来。

— Patrick87'9

一个证书通常意味着是重建一个证明一个简单的方法，因此按照定义，如果你提供的证书验证是很容易。没有证书的解决方案可能很难。

— 吉尔斯（Gillles）“所以-别再作恶了”

Answers:

如果您对人为问题感到满意，则可以解决很多问题。这里有一些：

给定一元正整数n，用n个布尔变量回答一个可满足的3CNF公式。
给出一个可满足要求的3CNF公式很容易，但是确定一个给定的3CNF公式是否可满足就是3SAT，这是一个众所周知的NP完全问题。
没有输入。只需回答图灵机停止（当用空的输入磁带运行时）即可。
给一台这样的图灵机很容易，但是给定的图灵机是否停止是不确定的。

补充：顺便说一句，我认为您在上一段中写的内容不成立：

我认为这样的问题对于任何给定的输入都将意味着成倍的“正确”答案，因为否则可以通过简单地计算所有正确答案来进行验证。

如果问题有一个解决方案，那么确实检查答案并不比计算正确的解决方案难。但是，如果问题有一个简单的解决方案和一个困难的解决方案，那么您将无法有效地计算所有解决方案。这是一个这样的问题（这是非常人为的）：

给定图灵机M，请回答以下正确的陈述之一：“ M在空的输入磁带上停止”，“ M不在空的输入磁带上停止”和“ M是图灵机。”
提供一种解决方案很容易：您始终可以选择“ M是图灵机。”但是，给定答案是否正确尚不确定。请注意，在此问题中，每个实例只有两个解决方案。

— 伊藤刚
source

是否有合理的方法来正式定义此类问题为“人为”的含义？（通过“合理”，我的意思是我们可以广泛达成共识的事情，例如说“可计算”的定义抓住了我们对它的含义的直觉。）

— Gilles'SO- stop not evil'12

@吉尔斯：不，我不这么认为。我称这些问题为“人为的”，是因为很少有人会首先遇到这些问题，然后发现很难做出一个答案，而很难确定给定答案的正确性。但是，这种“人造性”绝不是严格的概念。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

@Tsuyoshi Ito-谢谢您的明确答复。我已经编辑了最后一段以反映您的见解。

— rphv 2012年

尽管伊藤刚的答案涵盖了“主要”答案，但我还是想补充两点。

即使解决方案难以验证，使用简短的证明字符串仍然易于检查解决方案。也就是说，通过使用更多信息来扩展解决方案，它变得易于检查。验证始终在NP中。看到这种情况的一种方法是，计算解决方案的代理可以记录他们使用的所有随机位，然后验证者可以使用相同的随机字符串来执行相同的计算。（证明者必须使用随机位，否则它们始终输出相同的答案，并且验证者始终可以通过使用相同方法计算答案来轻松进行检查。）
对于量子计算机，这是一个非常开放的问题。对于经典计算机，验证者始终可以执行类似模拟证明者并检查其是否获得相同答案的操作。对于某些棘手的问题，完全有可能存在量子算法，该算法会在所有（呈指数形式）的解决方案中产生均匀的分布，这很难验证。您无法重新运行证明者，因为您很可能每次都会得到不同的答案。

作为类似问题的一个例子，德意志-乔萨（Deutsch-Jozsa）问题受此困扰。如果一个预言机不是平衡函数，那么量子计算机可以迅速确定情况是否如此，但是没有简短的证据可以使经典计算机对此进行验证。（这只是一个“类似”问题，因为它仍然可以由另一台量子计算机进行检查，并且即使不是在P中，检查也是在经典BPP中进行。）

— 亚历克斯·梅堡
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